三体問題シミュレーター

カオス的な重力、双子軌道の発散、数値的安定性

計算例 — 三体問題シミュレーター

運動エネルギー	1.2129
位置エネルギー	−2.4996
全エネルギー	−1.2867

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なぜ更新するたびに同じ結果になるのか 🖖

三体問題はカオス的ですが、ランダムではありません。カオスとは、初期条件のわずかな違いが指数関数的に増大することを意味しますが、ページを更新しても何も変わりません。同じ初期位置、同じ初速度、同じdt、同じアルゴリズムなら、毎回同じ結果になります。決定論的カオスと計算の再現性は、まったく別の概念です。カオスを実際に見るには、摂動を0.000001に設定し、破線で示される双子軌道を観察してください。両方の軌道は10⁻⁶だけ離れた位置から始まり、やがてまったく異なる経路へと発散していきます。その指数関数的な分離こそがカオスであり、リアプノフ指数が働いている証拠です。軌道の下にある発散グラフは、その分離量のlog₁₀を時間の経過とともにプロットしたもので、直線的に上昇していれば指数関数的な成長を意味します。

なぜ三体が難しいのか 🖖

互いに引き合う二つの天体は、単純で永遠に繰り返す楕円を描きます。この場合はニュートンが紙と鉛筆で解きました。ところが三つ目の天体を加えると、きれいな公式は消え去ります。誰がどこへ行き着くかを表す一般的な方程式は存在せず、唯一の方法は、このツールのように微小な dt ずつシミュレーションを進めることだけです。figure-8 プリセットを押すと、まれな例外の一つ、三つの等しい質量が単一のループ状の軌道を永遠に追いかけ合う様子が見られます。

存在するのに役に立たない解 🖖

三体問題は「解けない」と言われがちですが、1912年にカール・スンドマンは t^1/3 のべき級数が収束し、あらゆる時刻の天体の位置を与えることを証明しました（三体衝突の初期条件を除く）。ただし収束が極端に遅く、天文学的な精度を得るには 10^8000000 項ものオーダーが必要で、どんなコンピュータでも到底不可能です。形式的な解は確かに存在しますが、ここでのように一歩ずつシミュレーションを進めることが、唯一実用的な手段なのです。

全プロセスの詳細解説

初期条件から求める3つの等質量の8の字軌道のエネルギー 7 ステップ
8の字コレオグラフィーは3つの等質量体を単一の閉曲線上に周回させます。初期条件のみから t = 0 でのエネルギーを求めなさい。 これは8の字軌道のプリセットです：G = 1、m₁ = m₂ = m₃ = 1、ソフトニング ε = 0。位置 r₁ = (−0.97000436, 0.24308753)、r₂ = −r₁、r₃ = (0, 0)；速度 v₁ = v₂ = (0.466203685, 0.43236573)、そして全運動量は0です。
1. 一見すると恣意的に見える長い小数ですが、自乗して足し合わせるとそうではないことが分かります。質点1と質点2はそれぞれ、質点3の在処である原点から正確に1単位の距離に位置しています。
  
  $∣ r_{1} ∣ = 0.9700043 6^{2} + 0.2430875 3^{2} = 0.940908 + 0.059092 = 1.0000$
2. 質点2は質点1を原点に関して点対称に移動した位置にあるため、この瞬間、3つの質点すべてが質点3を中点とする1本の直線上に並んでいます。すべての質点間距離はそこから導かれ、2つ目の平方根の計算は不要です。
  
  $r_{2} = - r_{1} ⟹ r_{13} = r_{23} = 1.0000, r_{12} = 2.0000$
3. ニュートンの法則の適用に必要なのは、いま得られた離隔距離だけです。質点3は他の質点からそれぞれ1単位離れており、質点1と質点2の間の距離はその2倍であるため、2体間に働く引力は4分の1に弱まります。
  
  $F_{ij} = \frac{G m _{i} m _{j}}{r _{ij}^{2}} ⟹ F_{12} = \frac{1}{2 ^{2}} = 0.2500, F_{13} = F_{23} = 1.0000$
4. この同直線上の配置を活用します。質点3は反対方向に等しく引かれるため、その合力は正確にゼロになります。質点1と質点2は、質点3がその間に位置しているため、双方の相手から同じ向きに引かれます。したがって、それら2つの力は成分分解を要せず、単なる数値として足し合わされます。
  
  $∣ F_{3} ∣ = 1.0000 - 1.0000 = 0.0000, ∣ F_{1} ∣ = 1.0000 + 0.2500 = 1.2500$
5. 全運動量がゼロであり、かつ質点1と質点2が同一の運動をしていることから、質点3の速度は −2v₁ に固定されます。これにより質点3の運動エネルギーはそれらの4倍となり、3体全体の総和は単一の項にまとまります。
  
  $\sum m_{i} v_{i} = 0, v_{1} = v_{2} ⟹ v_{3} = - 2 v_{1}, K E = \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) v_{1}^{2} = 3 v_{1}^{2}$
6. v₁ の2つの成分を自乗して3倍することが、3体の運動エネルギー計算のすべてです。
  
  $v_{1}^{2} = 0.46620368 5^{2} + 0.4323657 3^{2} = 0.404286 ⟹ K E = 1.2129$
7. 位置エネルギーの計算にもベクトルは不要です。3つの離隔距離の逆数をとるだけであり、ε = 0 であるため、それらの逆数は厳密な値となります。
  
  $P E = - G (\frac{m _{1} m _{2}}{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{1} + \frac{m _{2} m _{3}}{1}) = - 2.5000$
解答

E = −1.2871、そしてパネルの t = 0 の表のすべての行 — 離隔距離、ペア間の力、合力、両エネルギー、そして全エネルギー — は、それら4つの小数と全運動量の消失のみから導かれました。各部分の変化に注目してください。t = 25.0 までに運動エネルギーは1.305まで増加し、位置エネルギーは−2.592まで低下しますが、全エネルギーは変化していません。この符号こそが決定的な意味を持ちます。束縛された3体系であってもメンバーを失うことはあり得ますが、タダではありません。もし1つの質点が余剰エネルギーなしに離脱した場合、残されたペアは−1.2871全体を担う必要があり、そのエネルギーを持つ2つの単位質量体の軌道半長軸は 1/(2 × 1.2871) = 0.3885 となります。これは、現在それらを隔てている 2.0000 の 1/5 未満です。放出とハードニングは同じ現象の表裏であり、その理由はエネルギー収支にあります。

$E = 1.2129 - 2.5000 = - 1.2871 ⟹ a_{m a x} = \frac{G m ^{2}}{2∣ E ∣} = \frac{1}{2 ( 1.2871 )} = 0.3885$

参考文献 (1)

Sundman's convergent series in t^(1/3): K. F. Sundman, "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36, 105–179, 1913.

42Math チーム · 更新 2026-05-31

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例題

8の字軌道 - 質量の等しい三つの質点が、一つの八の字軌道を追いかけ合い、どれも同じ閉じた経路をたどります。三体問題の解のうち、出発点に戻る周期軌道はきわめて珍しく、知られているものには一つずつ固有の名前が付いています。
ニアコリジョン - 二つの天体がごく近くを通り、その一瞬だけは、第三の天体よりも互いの引力をはるかに強く受けます。カオスが生まれるのは、こうした近接遭遇です。すれ違う距離が小さいほど、初期位置のわずかな差が、その後の運動で大きく増幅されます。
ピタゴラス配置 - 質量が3、4、5の天体を直角三角形の各頂点に置き、すべて静止状態から放します。天体は内側へ落ち込み、長いあいだ入り乱れて運動した末に、最も軽い一体が系外へ弾き出され、残る二体は連星になります。前半の動きだけを見ても、この結末は予測できません。
バタフライ軌道 - 質量の等しい三つの天体が、左右の翼を思わせる一本の閉曲線上を動きます。外側の二体は同じ速度で出発し、中央の一体の速度がそれらをちょうど打ち消します。そのため、軌道が描かれるあいだも図形全体は画面上を流れていきません。
オイラー共線配置 - 三つの天体が一直線に並び、共通重心のまわりを回りながら、いつまでも同一直線上にとどまります。太陽と地球を結ぶ軸上のラグランジュ点は、この配置から導かれます。つまりジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡は、この問題の解の中に置かれているのです。
連星+侵入者 - 密接した連星に、右から落ち込んできた軽い天体が遭遇します。多くの場合、侵入天体は来たときより速く飛び去り、連星の間隔は縮まります。持ち去られるエネルギーの源が、連星自身の結合エネルギーだからです。球状星団が膨らんだ状態を保つのも、まさにこの仕組みによります。

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StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem