宇宙論的赤方偏移計算機

水素のHα線が銀河を出発したときに656 nmで、721.6 nmに到達します。後退速度を求めてください。直感的な公式はこの例で約1500 km/sの誤差を生じ、より高い赤方偏移では完全に破綻します。

1. 赤方偏移は波長の伸びの割合として定義されるため、2つの数値から直接読み取ることができます。z = 0.1、つまり光は出発時より10%赤い状態で到達しました。

   $$z=\frac{{\lambda }_{\text{obs}}-{\lambda }_0}{{\lambda }_0}=\frac{721.6-656}{656}=0.1000$$

2. ほぼすべての人がまず使う公式は、低速のドップラー効果に由来するv = czです。これにより、光速の10分の1である29 979 km/sが得られます。

   $$v_{\text{naive}}=cz=0.1\times 299792=29979km/s$$

3. しかし、光速の10分の1は低速ではありません。相対論的ドップラーの関係式は1 + zを(1 + β)/(1 − β)の平方根と結びつけます。βについて解くのに必要な代数計算は1行であり、0.1ではなく0.09502が得られます。

   $$1+z=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}⟹\beta =\frac{(1+z{)}^2-1}{(1+z{)}^2+1}=\frac{0.21}{2.21}=0.09502$$

4. これは28 487 km/sです。単純な公式による数値は5.2%（およそ1500 km/s）過大評価しており、これは天文学者が日常的に議論する速度差よりも大きい値です。

   $$v=0.09502c=28487km/s\left(\frac{29979}{28487}=1.052\right)$$

5. zを1まで大きくすると、この乖離は単なる補正の域を超えます。v = czはちょうどcを返しますが、相対論的公式はその5分の3を返します。

   $$a=\frac{1}{1+z}=0.9091;z=1:v_{\text{naive}}=c,\beta =\frac{3}{5}=0.600$$