超新星膨張推定機

超新星残骸がどれだけ大きくなったか、そして望遠鏡で点光源と区別できるかを推定します。

計算例 — 超新星膨張推定機

速度を変換	3.00 Mm/s
経過年数を変換	31.6 Gs
自由膨張の半径	10.0069 ly
距離を変換	6.15×10¹⁹ m
天球に投影	635.1 arcsec
推定残骸半径	10.0069 ly
推定残骸直径	20.0138 ly
推定視直径	635.1 arcsec

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

R = vt が残骸を説明できるのは数世紀のあいだだけ 🖖

放出物がほぼ真空の宇宙空間を慣性で広がっている間は、「距離＝速さ×時間」が厳密に成り立ちます。ただし、この自由膨張期は長くありません。せいぜい数百年で、殻が掃き集めた星間ガスの質量は、もとの放出物の質量を上回ります。その後、残骸はセドフ–テイラー期に入り、半径はtではなくtの2/5乗に比例して増加します。その違いは明瞭です。この段階で年齢を2倍にしても、半径は2倍ではなく1.32倍にしかなりません。さらに時がたち、ガスが十分に冷えてエネルギーを放射で失うようになると、膨張はいっそう遅くなり、やがて残骸は星間物質に溶け込みます。したがって、現在の速度から半径を時間に比例させて過去へ外挿しても、すでに変化してきた物理過程を無視して、今この瞬間の状態を引き延ばした値にすぎません。

距離が巨大な残骸を小さく見せる理由 🖖

このツールの核心は物理で最も単純な式です。距離＝速さ×時間、つまり残骸の半径は R = vt で求まります。巧妙なのは最後の段階で、同じ殻でも遠さによって小さくも大きくも見えます。視直径はおよそ θ ≈ 2R/d なので、残骸を2倍遠ざけると、望遠鏡が分解すべき角度は半分になります。

かに星雲は1054年では説明できない速さで膨張する 🖖

かに星雲の運動を現在の速度で逆算すると、フィラメントは西暦1140年ごろに収束します。これは中国が1054年に記録した超新星より約90年も後です。つまり残骸は減速ではなく加速しており、中心のパルサーの風が殻にエネルギーを注ぎ続けています。等速の R = vt では爆発を遅く見積もってしまう、現実が単純なモデルを追い越す珍しい例です。

全プロセスの詳細解説

6500光年の距離と3000 km/sにおけるシェルの半径 6 ステップ
3000 km/s、1000 年、6500 光年離れた場所。殻の半径と見かけの広がりを求めよ。さらに、「自由膨張」が今なお許容されるかを検証せよ。
1. 光年とは光が一年間に進む距離と定義されているため、速度を c で割り、時間を一年で割ることで、すべての単位が一度に相殺される。メートルも秒も必要ない。
  
  $R = v t; 1 ly = c \times 1 yr ⟹ \frac{R}{ly} = \frac{v}{c} \times \frac{t}{yr}$
2. 計算を行う。3000 km/s は光速のほぼ正確に 1% であり、これにより半径は光年単位での年齢のほぼ正確に 1% となる。これは物理法則ではなく選ばれた数値の偶然によるものである。
  
  $\frac{v}{c} = \frac{3000}{299 792.458} = 0.0100069 = 1.0007% ⟹ R = 0.0100069 \times 1000 = 10.0069 ly$
3. 直径の計算は自明である。秒単位の年齢は上記の計算には不要であり、パネルに表示されているために提示されているだけである。
  
  $D = 2 R = 20.0138 ly; t = 1000 yr = 3.156 \times 1 0^{10} s = 31.6 Gs$
4. 角直径は直径を距離で割ったものである。比率が 0.003 であるため、ここでの小角近似は安全であり、パネルにも明示的にその旨が記載されている。
  
  $θ = 2 arctan \frac{R}{d} \approx \frac{2 R}{d} = \frac{20.0138}{6500} = 3.0791 \times 1 0^{- 3} rad$
5. ラジアンに 206,265 を掛けて arcsec に変換する。これは一ラジアンに含まれる arcsec の数であり、パーセクを定義する定数と同じものである。
  
  $3.0791 \times 1 0^{- 3} \times 206265 = 635.1 arcsec = 10.6 arcmin$
6. ここでモデル自体の仮定を検証する。殻の体積を計算し、一立方センチメートルあたり一個の水素原子で満たし、爆風が押し出さねばならなかった物質の質量を測定する。
  
  $M_{swept} = \frac{4}{3} π R^{3} ρ_{ISM}, n = 1 c m^{- 3} : \frac{4}{3} π (9.467 \times 1 0^{16})^{3} \times 1.67 \times 1 0^{- 21} = 5.9 \times 1 0^{30} kg = 3.0 M_{⊙}$
解答

半径 10.0069 ly、天球上で 635 arcsec —— そしていいえ、自由膨張はとうの昔に終了している。 その半径において、殻はすでに約 3 太陽質量の星間ガスを掃き寄せており、これはそもそも Type Ia 超新星が放出する噴出物の質量を上回っている。掃き寄せられた質量が噴出物の質量を超えると、殻は集めたガスによって減速され、等速モデルは終了する。残骸はセドフ＝テイラー段階へと移行し、半径は t ではなく t^(2/5) に比例して成長する。ツールの上部には等速を仮定していると記載されており、ツールとしてはそれで正しい。しかし記載されていないのは、その仮定が数百年で効力を失うということであり、1000 年経過した残骸にとっては寿命の大部分においてその仮定が成り立たないということである。この計算の美しい部分はステップ 1 であり、光年という単位によってすべての単位換算が自動的に完了する。

$\frac{R}{ly} = \frac{v}{c} \cdot \frac{t}{yr} = 10.0069, θ = \frac{2 R}{d} = 635. 1^{''}$

参考文献 (1)

The Crab filaments converging on 1140 rather than 1054: V. Trimble, "Motions and Structure of the Filamentary Envelope of the Crab Nebula." The Astronomical Journal 73, 535, 1968 — proper motions extrapolate back to AD 1140 ± 10, about 90 years after the recorded supernova.

42Math チーム · 更新 2026-05-31

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例題

かに星雲型残骸 - 1500 km/sで971年間膨張すると、半径は4.86光年です。6500光年先では、角半径は5.14分角になります。年齢は、1054年の記録から推定される値に設定しています。
ティコ型残骸 - かに星雲より膨張が速く、年齢も大きい残骸です。半径は7.56光年、距離はさらに遠い2500 pcですが、それでも見かけは大きく、角半径はかに星雲の5.14分角に対して6.37分角になります。
SN 1987A型 - 半径は0.39光年で、見かけの大きさは1秒角未満です。50 kpcもの遠方にあるためです。実際の大きさはかに星雲の十二分の一、空での見かけは三百分の一です。
近傍の極小サンプルケース - あえて現実離れした例を考えます。1 km/sで一年の十分の一だけ膨張した殻は、直径がおよそ十光秒。距離は一光年の百分の一です。それでも角半径は13.8秒角あり、SN 1987Aの十四倍に見えます。