スペクトル線の広がり

9600 K のA型星が、v sin i = 150 km/s という速さで自転しています。この星の空気中波長 434.05 nm のHγ線について、実際に測定される半値全幅を計算してみてください。次に、スペクトルが暗に促してくる通りに、その全幅をすべて熱運動によるものと見なして、どのような温度が導き出されるかを確認しましょう。

この問題をツールで開く

1. 熱による広がりは、視線方向における原子一個の速度から始まります。マクスウェル＝ボルツマン分布に従うガスは、線に幅 λ√(2kT/(Auc²)) のガウスプロファイルを与えます。この幅こそが 1/e 半値幅です。これは標準偏差（√2分の一の小ささ）でも、FWHM（1.6651倍の大きさ）でもありません。提供される値を取り違えることがないよう、行には「熱による半値幅 (1/e)」とラベルが付けられています。9600 K の水素の場合、根号の中身は 1.76211 × 10⁻⁹、その平方根は 4.19775 × 10⁻⁵ となり、これに 434.05 nm を掛けると 1.8220 × 10⁻² nm が得られます。

   $$\Delta {\lambda }_{\mathrm{th}}=\lambda \sqrt{\frac{2kT}{Au{c}^2}}=434.05\mathrm{nm}\times \sqrt{1.76211\times 10^{-9}}=1.8220\times 10^{-2}\mathrm{nm}$$

2. 自転は、全く異なるメカニズムで同じ線を広げます。こちらに向かってくる縁は λ v sin i / c だけ青方偏移し、遠ざかる縁も同量だけ赤方偏移するため、プロファイルはその全範囲にわたってにじみます。150 km/s を c = 2.99792458 × 10⁵ km/s で割ると 5.00346 × 10⁻⁴ となり、これに 434.05 nm を掛けると 2.1718 × 10⁻¹ nm になります。ここで、ツールが何を前提としているかに注意してください。i = 90°、つまり真横から見た sin i = 1 を仮定しています。極に近い方向から見た星はその自転の一部を隠してしまうため、一本の線を測定しただけでは、どちらのケースを観測しているのかを知ることはできません。

   $$\Delta {\lambda }_{\mathrm{rot}}=\frac{\lambda v\sin i}{c}=\frac{434.05\mathrm{nm}\times 150km/s\times \sin 90^{\circ }}{2.99792458\times 10^{5}km/s}=2.1718\times 10^{-1}\mathrm{nm}$$

3. この二つを二乗和の平方根で足し合わせます。これは二つのガウス関数に対しては厳密な計算ですが、自転による広がりはガウス関数ではありません。そのため、ツールは同じ 1/e 半値幅を持つガウス関数で代用しており、それによって生じる数パーセントの誤差について隠さずに処理しています。√((1.8220 × 10⁻²)² + (2.1718 × 10⁻¹)²) = 2.1794 × 10⁻¹ nm。熱の項がどれだけ寄与したかに注目してください。合成された線幅は、自転単独の場合と比べてわずか 0.35% 広いだけです。

   $$\Delta \lambda =\sqrt{\Delta {\lambda }_{\mathrm{th}}^2+\Delta {\lambda }_{\mathrm{rot}}^2}=\sqrt{{\left(1.8220\times 10^{-2}\right)}^2+{\left(2.1718\times 10^{-1}\right)}^2}=2.1794\times 10^{-1}\mathrm{nm}$$

4. 分光学者が引用する数値は半値全幅 (FWHM) であり、exp(−(x/Δλ)²) として記述されるプロファイルの場合、それは半値幅の 2√(ln 2) 倍になります。1.6651 × 2.1794 × 10⁻¹ = 3.6289 × 10⁻¹ nm となり、これが「合成半値全幅 (FWHM)」の行に表示されます。自転速度をゼロまでドラッグすると、同じ行の値は十二分の一の狭さである 3.0339 × 10⁻² nm まで低下します。これが、もし星が自転を止めたとしたら現れる線です。

   $$\mathrm{FWHM}=2\sqrt{\ln 2}\Delta \lambda =1.6651\times \left(2.1794\times 10^{-1}\right)=3.6289\times 10^{-1}\mathrm{nm}$$

5. 「熱的線幅の比」の行は、温度や波長をどのように変更しても 7.443 に保たれます。他の要素がすべて相殺され、√(A_Fe/A_H) だけが残るからです。さて、自転速度を 150 km/s にしたまま「鉄」を押してみてください。鉄の熱による線幅は確かに 7.443倍狭い 2.4479 × 10⁻³ nm になりますが、合成半値幅は水素の 2.1794 × 10⁻¹ nm に対して 2.1719 × 10⁻¹ nm になります。質量が 55倍異なる二つの原子ですが、実際に測定される線の違いは三分の一パーセントに過ぎません。

   $$\frac{\Delta {\lambda }_{\mathrm{H}}}{\Delta {\lambda }_{\mathrm{Fe}}}=\sqrt{\frac{A_{\mathrm{Fe}}}{A_{\mathrm{H}}}}=\sqrt{\frac{55.845}{1.008}}=7.443$$

6. 熱的線幅を速度の単位に戻して、交差点がどこにあるのかを確認してみましょう。Δλ_th/λ は v_th/c であり、v_th = √(2kT/(Au)) となります。9600 K の水素の場合、これは 12.58 km/s です。星の表面は、星自身の原子が視線方向に動く速度よりも 11.92倍速く動いていることになります。およそ 12.6 km/s を下回る領域では熱の項の方が大きく、線幅は依然として温度を測定する指標となります。しかしそれを超えると、自転が支配的になり、その影響がどこまでも続きます。

   $$v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{2kT}{Au}}=12.58km/s,\frac{v\sin i}{v_{\mathrm{th}}}=\frac{150}{12.58}=11.92$$