天文ドップラー偏移計算機

静止時と観測時のスペクトル値を入力してzを求め、古典的な速度と相対論的な速度を比較しましょう。

計算例 — 天文ドップラー偏移計算機

651.66 nm	664.62 nm
相対論的速度	1694.501 km/s
モデルの差	0.2842%
赤方偏移 z	0.00566831

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

赤方偏移が大きいとき、近道の v = zc は光速の三倍を返す 🖖

この道具は相対論的な速度と古典的な v = zc を並べて表示します。その差こそが要点です。二つの水素のプリセットでは z は約 0.006 で、両者は桁までそろうので、近道は無害です。次に quasar のプリセットを読み込んでください。ライマン α が 121.567 nm から 486.268 nm へ、静止波長のちょうど四倍まで動いており、つまり z = 3 です。すると v = zc は 3c — 光速の三倍 — になりますが、相対論的な β = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) は 0.882c を与えます。近道は速度を 240 % 過大に見せ、そのついでに物理を壊します。

赤方偏移が実際に測っているもの 🖖

スペクトル線は不変の指紋です。水素は静止時に必ず 656.28 nm で輝きます。その線が実際にどこに見えるかを測りましょう。より長い（赤い）波長へずれれば光源は遠ざかり、より短い（青い）波長なら近づいています。赤方偏移 z は単に相対的な伸びの割合です。H-alpha が 656.28 nm ではなく 660 nm に見えれば z ≈ 0.0057、後退速度は約 1700 km/s です。

赤方偏移は100%を超えてもcを破らない 🖖

クエーサーのプリセットを読み込むと、ライマンα線は 121.567 nm から 486.268 nm へずれ、z = 3、波長は4倍になります（1 + z = 4）。素朴な v = zc は光速の3倍を主張しますが、それは不可能です。相対論的な式 β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) は代わりに 15/17 ≈ 0.88 を与え、c を下回ります。z がどれほど大きくなっても β は決して1に達しません。

全プロセスの詳細解説

銀河の水素アルファ線が660.00 nmにあるときの後退速度 6 ステップ
ある銀河の水素アルファ線が 656.28 nm ではなく 660.00 nm に位置している。その後退速度を正確に求め、教科書通りの v = cz がここでの用途に十分か、またどこで通用しなくなるかを判定せよ。
1. 赤方偏移は波長の相対変化として定義され、このページで唯一の測定量である。以下はすべてこれに基づく算術計算である。
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{660.00 - 656.28}{656.28} = 0.00566831$
2. 観測者から真正面に遠ざかる光源に対する相対論的ドップラーの公式は、古典的な偏移と時間の遅れを組み合わせたものである。これを β について解く。両辺を2乗すれば、式の変形はわずか1行で済む。
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1}$
3. 代入する。分子は実質的に 2z、分母は実質的に 2 となるため、赤方偏移が小さいときに解が z にきわめて近くなり、z² が無視できなくなると一致が破綻するのである。
  
  $(1 + z)^{2} = 1.01136877, β = \frac{0.01136877}{2.01136877} = 0.0056522$
4. いずれの方法でも c を乗じて比較する。4.8 km/s の差は銀河団における銀河の固有速度よりもはるかに小さいため、この赤方偏移において公式の選択は制約となる誤差にはならない。
  
  $v_{rel} = β c = 1694.501 km/s; v_{class} = z c = 1699.317 km/s; Δ = 0.2842%$
5. z を大きくしていくと両者は乖離する。古典的な式には上限が存在しないが、相対論的な式には代数的に β → 1 となる性質が組み込まれている。
  
  $z = 0.1 \Rightarrow β = 0.09502 (classical is 5.24% high); z = 1 \Rightarrow β = 0.600 (classical gives c)$
6. もう1ステップで速度を距離に変換する。H₀ = 70 km/s/Mpc とするハッブルの法則により、この銀河は約 24 Mpc 離れた位置にあることがわかる。これは局所銀河群の遥か外側であり、今回の測定において他の手法では提供できなかった距離である。
  
  $d = \frac{v}{H _{0}} = \frac{1694.5}{70} = 24.2 Mpc \approx 79 million light years$
解答

1694.501 km/s（v = cz による 1699.317 km/s に対し 0.28% の過大評価）。この赤方偏移では簡便法を用いても害はない。しばらくは害のないままだが、その後急速に破綻する。z = 0.1 では 5.2% 高くなり、z = 1 では正確に c を返すが、これは大きな誤差というより物理的にあり得ない解である。相対論的な式ではそのようなことは起きない。なぜなら z がどれほど大きくなろうとも β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) は下から 1 に近づくからである。z = 5 を代入すると 0.946c を返し、簡便法に z = 5 を代入すると光速の 5 倍を返す。

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} \Rightarrow v = 1694.501 km/s$

参考文献 (1)

The relativistic treatment this tool uses rather than the classical shortcut — the Doppler section is §7: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322, 891–921, 1905.

42Math チーム · 更新 2026-07-06

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例題

Hα(後退) - H-alpha線が長波長側にずれているのは、後退(赤方偏移)を示している。
Hα(接近) - 観測波長が短くなっているのは、接近(青方偏移)を示している。
21 cm電波源 - 観測される21 cm線の周波数が低いことは、正の赤方偏移に対応する。
高赤方偏移クエーサー - zが大きく、相対論的な速度補正が不可欠となるケース。