吸収線と輝線

光源の温度、ガスの温度、そして光学的深さを設定して、同じスペクトル線が暗くなったり、明るくなったり、あるいは消える様子を確かめてみましょう。

計算例 — 吸収線と輝線

連続放射輝度	2.24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
ガス自身の放射輝度	7.55 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
ガスを透過した放射	8.25 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
ガスが放出した放射	4.77 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
観測された線の放射輝度	1.30 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
放射輝度の差	-1.49 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
コントラスト	-9.40 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
連続放射に対するコントラスト	-41.9%

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レッスン

理論 — 吸収線と輝線

スペクトル線とは、ガスが隣の波長よりもはるかに強く光を吸収したり放射したりする、一つの波長のことです。このガスを何かの前に置くと、二つのことが同時に起こります。背後から来る光をe^−τの割合に減衰させ、そこにガス自身の光を付け加えるのです。私たちが観測するのはその和、すなわち I = I_sourcee^−τ + B(T_gas)(1 − e^−τ) です。線が暗く見えても明るく見えても、適用される式は同じです。

各記号の意味

τ: 光学的厚さ：背後からの光がどれくらいガスを通り抜けて残るか。「e のマイナス τ 乗」の形で表します
B(T): 温度 T の物体がこの波長において放つ輝度

前提: ここでは一つの線、単一の温度を持つ一つのガスの層、そして局所熱力学平衡を前提としています。つまり、ガスが自身の温度を持つ物体として光を放つという状態です。現実の恒星の大気では深さとともに温度が変化しますが、実際のスペクトル線が単一の深さにとどまらず、特有の形状を描くのはまさにそのためです。

暗いか明るいかは背後にあるもので決まる 🖖

初期設定は太陽のモデルです。5772 K の光源の手前に 4500 K の水素の雲があり、光学的深さは 1、波長は 656.28 nm のHα線です。パーセンテージの表示は -41.9% となり、線は暗く見えます。ここでガスのスライダーを 8000 K まで動かしてみてください。表示は +127.0% に変わり、同じ線が周囲の連続スペクトルよりも明るくなります。水素自体は何も変わっていません。1814年にフラウンホーファーが太陽の暗線を記録したとき、彼はその正体を説明できませんでした。それを解き明かしたのが1859年のキルヒホッフであり、下に並ぶ数値の行が彼の出した答えです。

太陽の暗線が語る事実は、ただそれだけです。暗線を生み出すガスは 4500 K 付近にあり、これは最も頑丈な金属であるタングステンをも溶かすほどの高温ですが、その下にある光球がさらに熱いために暗く見えるのです。ガスの温度を 4500 K に戻し、代わりに光源のスライダーを 4000 K に下げてみましょう。結果は +53.4% です。先ほどまで吸収体と呼んでいた雲が自ら輝き始めますが、ガスには一切手を加えていません。

あるひとつの温度で、線は完全に消滅する 🖖

線が完全に消滅するガスの温度が一つだけあります。それは光源と同じ温度です。ガスのスライダーを動かして 5772 K に合わせるか、「消滅する線」のサンプルをクリックしてください。コントラストの行は 0 となり、その下の相対コントラストの行は 0.0% になります。小数第十五位に微小な値が残るわけでも、グラフに描けないほど小さい値になるわけでもありません。完全なゼロです。

ここから何をどう変えても、ゼロのままです。τ を 5 まで押し上げ、雲が背後の光をほぼ完全に置き換えるほど厚くしたうえで、波長を 100 nm から 2000 nm までの全範囲で動かしてみてください。何も現れません。

その理由はキルヒホッフの熱放射の法則にあります。このモデルの前提である局所熱力学平衡にあるガスは、各波長において、吸収する強さと正確に同じ割合で放射を行い、その両方を一つの温度が支配しています。その温度を光源と一致させると、雲は奪った光をぴったりそのまま返します。猛烈な勢いで吸収し、猛烈な勢いで放射しているため、観測者に届くスペクトルにはガスが存在する痕跡が一切残らないのです。

光学的深さが決めるのは深さのみで、向きではない 🖖

光源を 5772 K、ガスを 4500 K に戻し、τ のスライダーを動かしてみましょう。下限の 0.01 では、パーセンテージの表示は -0.7% です。上限の 5 では -65.9% となり、線の中心は連続スペクトルの明るさの3分の2を失っています。その間のどの設定値でも結果はマイナスです。線はひたすら深くなるだけで、決してゼロを越えることはありません。

光学的深さがコントラストに関わるのは、(1 − e^(−τ)) という係数としてのみです。これは、雲が光源の光を遮り、自らの光に置き換える割合を表します。この割合はほぼゼロから 1 に向かって増加し、決してマイナスにはならないため、コントラストの大きさを変えるだけで符号を反転させることはできません。符号を決定するのは温度なのです。

ドラッグする際は、グラフではなく数値に注目してください。スペクトルのパネルは描画する線の深さに合わせてスケールを自動調整するため、最も浅い窪みも最も深い窪みも、画面上では全く同じ大きさで描かれます。

全プロセスの詳細解説

線の深さと、ガスがどれほど冷たくなければならないか 7 ステップ
5772 K の光球から放たれた光が、その星自身の 4500 K の大気層を通過します。この層は、空気中での波長 656.28 nm のHα線において、光学的深さが 1 です。線の中心が連続スペクトルからどれだけ下がるかを計算してください。次に、同じ物理法則を逆方向に読み解きます。同じ 5772 K の表面と光学的深さを持つ二つ目の星があり、そのHα線の中心は連続スペクトルより 25.0% 低い位置にあります。吸収を起こしているガスは何度でしょうか。

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1. プランクの法則において何よりもまず必要になるのが指数であり、特定の波長においてその指数は、ある定数を温度で割ったものになります。波長 656.28 nm の場合、hc/λk は 21923.2 K と計算されるため、光源の指数は 21923.2/5772 = 3.7982 です。これを代入すると連続放射輝度は 2.24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹ となり、これが「連続放射輝度」の行に表示される値です。
  
  $I_{0} = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T_{0}} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{3.7982} - 1 )} = 2.24 \times 1 0^{13}$
2. ガスも、自身の温度において同じ法則に従います。21923.2/4500 = 4.87183 となり、指数が大きくなるため分母も大きくなり、放射輝度は 7.55 × 10¹² に下がります。「ガス自身の放射輝度」の行もこれと一致しています。光学的深さが関わってくる前のこの時点で、すでに線の運命は決まっています。より冷たい表面はすべての波長において放射が少なくなるため、線の中心は連続スペクトルよりも暗くなるしかありません。
  
  $B = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{4.87183} - 1 )} = 7.55 \times 1 0^{12}$
3. 光学的深さ τ の層は、二つのことを同時に行います。背後の光のうち e^−τ の割合を透過させ（τ = 1 のときは 0.36788）、残りを自身の放射である B の 0.63212 倍に置き換えます。透過した 8.25 × 10¹² に放射された 4.77 × 10¹² を足すと 1.30 × 10¹³ となり、これが「観測された線の放射輝度」の行に表示されます。この二つの数字が、層を通過する放射伝達のすべてです。
  
  $I = I_{0} e^{- τ} + B (1 - e^{- τ}) = 8.25074 \times 1 0^{12} + 4.77324 \times 1 0^{12} = 1.30 \times 1 0^{13}$
4. コントラストとは、観測者が実際に目にするものから、ガスがなかった場合に見えるはずだったものを引いた値です。これを「コントラスト」の行に倣って (B − I₀)(1 − e^−τ) と記述してみましょう。こうすれば、掛け合わせる前に引き算が行われるため、二つの温度が等しい場合は見事にゼロとして打ち消し合うからです。−1.48767 × 10¹³ に 0.63212 を掛けると −9.40 × 10¹² になります。
  
  $Δ I = (B - I_{0}) (1 - e^{- τ}) = - 1.48767 \times 1 0^{13} \cdot 0.63212 = - 9.40 \times 1 0^{12}$
5. これを連続スペクトルで割ると、深さは 41.9% になります。その下の「線が消滅する温度」の行には 5772 K とありますが、この数字は近似値ではなく厳密な値です。光源と同じ温度では B − I₀ はある数から同じ数を引くことになるため、あらゆる波長とあらゆる光学的深さにおいてコントラストはゼロになります。適切な温度であれば厚い雲でも目に見えないままであり、だからこそ、深さと向きは二つの別々の問題なのです。
  
  $\frac{Δ I}{I _{0}} = \frac{- 9.40386 \times 1 0 ^{12}}{2.24278 \times 1 0 ^{13}} = - 0.419, Δ I = 0 ⟺ T = T_{0} = 5772 K$
6. さて、望遠鏡から実際に得られる測定値は深さだけであり、それ以外の情報は一切ありません。深さの割合を d とすると、d = −ΔI/I₀ = (1 − B/I₀)(1 − e^−τ) となります。ここで、深さの代わりにガスの放射輝度について解くと、B = I₀(1 − d/(1 − e^−τ)) です。d = 0.250、τ = 1 のとき、括弧の中は 1 − 0.395495 = 0.604505 となり、B = 1.3558 × 10¹³ と求まります。この手順はツールでは計算してくれません。
  
  $d = (1 - \frac{B}{I _{0}}) (1 - e^{- τ}) \Rightarrow B = I_{0} (1 - \frac{d}{1 - e ^{- τ}}) = 2.24278 \times 1 0^{13} \times 0.604505 = 1.3558 \times 1 0^{13}$
7. もう一度逆算を行えば、温度が導き出されます。B = 2hc²/(λ⁵(eˣ − 1)) を eˣ = 1 + 2hc²/(λ⁵B) に変形します。これを計算すると 73.158 になるため、x = ln 73.158 = 4.2926 です。指数は最初から 21923.2/T だったので、T = 21923.2/4.2926 = 5107 K となります。ガスの温度スライダーをこの値に合わせると、「連続放射に対するコントラスト」の行は −25.0% を示します。
  
  $e^{x} = 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} B} = 73.158 \Rightarrow x = 4.2926, T = \frac{h c}{λk x} = \frac{21923.2}{4.2926} = 5107 K$
解答

4500 K の層はHα線の中心を連続スペクトルより 41.9% 低くし、2.24 × 10¹³ の連続スペクトルに対して 1.30 × 10¹³ とします。二つ目の星の状況を逆算して読み解くと、その 25.0% の深さの中心をつくるには 5107 K のガスが必要であり、これは背後の表面よりもわずか 665 K 低いだけです。この逆算は、どこで計算を信用できなくなるかも教えてくれます。ガスが絶対零度に向かって下がると、B もともにゼロに近づくため、光学的深さ 1 が生み出せる最も深い中心は 1 − e⁻¹、つまり連続スペクトルの 63.2% にとどまります。もし深さ 70% の線が測定された場合、それに当てはまるガスの温度は存在せず、代わりに雲がもっと厚くなければならないのです。

$T = \frac{h c / λk}{ln ( 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} I _{0} ( 1 - d / ( 1 - e ^{- τ} ) )} )} = 5107 K$

参考文献 (1)

Who drew the Sun's dark lines, and who explained them: J. Fraunhofer, "Bestimmung des Brechungs- und des Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten." Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München 5, 1814–15, pp. 193–226. G. Kirchhoff, "Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme." Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, pp. 783–787.

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