ウィーンの法則ピーク波長ツール

ケルビン単位の温度を入力すると、ウィーンの変位則によりピーク放射波長が求まります。

計算例 — ウィーンの法則ピーク波長ツール

ピーク波長（ナノメートル）	502.039 nm
ピークにおける周波数	5.971 × 10¹⁴ Hz
ピークにおける光子エネルギー	2.47 eV
最も近い参照値	太陽
太陽	5772 K, 0 K away
入力された黒体温度	5772 K
同じピークを一般的な天文単位で表示	502.039 nm · 0.502 µm · 5020.395 Å

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

定数は誰にも書き下せない数を隠している 🖖

λ_max = b/T は測定された定数を必要とするように見えますが、b は測定値ではありません。導出される量であり、その中に超越的な根を含んでいます。プランク分布を最大化すると x = 5(1 − e^−x) が導かれ、その非ゼロ解は x = 4.965114232… という閉じた形を持たない数です。そして b = hc/(x·k_B) となり、2.897772 × 10⁻³ m·K、つまりこのツールが使っている値がぴたりと出てきます。あの半端な 2.8978 は単位のいたずらではありません。プランク定数と光速の積を、ボルツマン定数と、誰も正確には書き下せない根とで割った値なのです。

星の色が温度を映し出す理由 🖖

このツールは、色と温度という日常的なつながりを数値に変えます。ただし直感は逆向きです。蛇口では赤が熱、青が冷たさを表しますが、白熱した物体では反対になります。冷たい物体は鈍い赤に輝き、熱すると放射のピークがオレンジ、黄色、そして青白へと移っていきます。だからこそ赤い星ベテルギウス(~3500 K)は、青白いリゲル(~12000 K)よりずっと低温なのです。

ピークは描き方で変わる 🖖

ウィーンの法則には落とし穴があります。黒体放射がピークをとる波長と、ピークをとる周波数は、同じ光子を指していません。太陽のスペクトルは波長では約500 nm(緑)でピークをとりますが、周波数で表すとピークは約880 nm(赤外線)に来ます。波長を周波数へ変換すると軸が不均一に引き伸ばされるためです。つまりこのツールが示す『ピーク周波数』ν = c/λ_max は、周波数曲線が実際に最大になる位置ではありません。

全プロセスの詳細解説

太陽がピークとなる色と温室が機能する理由 5 ステップ
太陽の放射強度がピークとなる色を求め、同じ一行の法則を使って温室効果が働く理由 — そして暗視カメラが温かい物体を捉えられる理由を説明しましょう。太陽: T = 5772 K。
1. 温度を持つすべての物体は熱放射を行っており、最も強く放射される波長は温度に反比例します。高温であるほど波長が短く（青く）なる — これがヴィーンの変位法則のすべてであり、比例定数は自然界によって定まっています。
  
  $λ_{m a x} = \frac{b}{T}, b = 2.898 \times 1 0^{- 3} m K$
2. 太陽の有効温度を代入します。上の計算ツールに表示される値は緑色の範囲に入り、可視光域のほぼ中央、しかも人の目の感度が最も高い波長のすぐ近くに位置します。
  
  $λ_{m a x} = \frac{2.898 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5.020 \times 1 0^{- 7} m = 502.039 nm$
3. 周波数は波の関係式から直ちに導かれ、ツールにも同様に表示されます。
  
  $f = \frac{c}{λ _{m a x}} = \frac{2.998 \times 1 0 ^{8}}{5.020 \times 1 0 ^{- 7}} = 5.971 \times 1 0^{14} Hz$
4. 次に、恒星ではないもの（288 K の地球表面）に同じ法則を適用してみましょう。
  
  $T = 288 K : λ_{m a x} = \frac{2.898 \times 1 0 ^{- 3}}{288} = 1.006 \times 1 0^{- 5} m = 10.06 μ m$
5. 2 つのピークを比較します。同じ法則、同じ定数で、温度が 20 倍異なるため、波長は逆方向に 20 倍異なります。
  
  $\frac{λ _{Earth}}{λ _{Sun}} = \frac{10.06 μ m}{0.502 μ m} = 20$
解答

502 nm（緑色の帯域）。 地球のピークは赤外線領域の深部にある 10.06 μm であり、この 20 倍の差こそが温室効果のメカニズムそのものです。ガラスや CO₂ は 0.5 μm では透明ですが 10 μm では不透明であるため、太陽光は自由に届く一方で、再放射された熱は同じ経路で逃げることができません。サーマルカメラが暗闇で機能するのもこれが理由です — 310 K の物体は 9.4 μm 付近にピークを持ち、人間の目には見えない波長で常時発光しています。1 つの反比例関係が、一見無関係に見える 3 つの現象を説明しているのです。

$λ_{m a x} T = b 502 nm (Sun) v s 10.06 μ m (Earth)$

参考文献 (2)

The distribution whose maximum gives the displacement law: M. Planck, "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum." Annalen der Physik 309(3), 553–563, 1901.
The value of the displacement constant b, and of h, c and k_B behind it: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

42Math チーム · 更新 2026-07-03

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例題

室温 - 室温の物体は可視光ではなく、深赤外域にピークを持つ。
太陽相当 - 太陽のピークは可視光域、緑黄色付近にある。
高温の青色星 - 高温の恒星は紫外域にピークを持つため、可視光では青白く見える。
X線プラズマ - 極めて高温のプラズマではX線域にピークが現れることがある。