月齢計算機

表の10行のうち7行は数式欄に公式を掲載している。朔望月の行は数値を示している：S = 29.5306 d と断定されている。これを代わりに導出せよ——その直下にある恒星月の行と、ツールが言及していない1つの与えられた数値とから。

1. 1か月とは2つの角速度の競走であるため、まずは一方を変換することから始める。恒星月とは背景の恒星に対する月の1全周の運動であり、表示されている 27.3217 d でちょうど 360° となる。

   $${\omega }_{\mathrm{M}}=\frac{360^{\circ }}{T_{\mathrm{sid}}}=\frac{360^{\circ }}{27.3217\mathrm{d}}=13.17634^{\circ }{\mathrm{d}}^{-1}$$

2. しかし、月相は恒星を基準に測定されるのではない——太陽を基準に測定されるのであり、地球が太陽を公転しているため、太陽の方向は固定されていない。したがって、太陽は1恒星年（365.2564 d）あたり、同じ恒星に対して1全周分だけずれる。これが、このページから得られない唯一の数値であり、自分で用意しなければならない。

   $${\omega }_{\odot }=\frac{360^{\circ }}{T_{\mathrm{E}}}=\frac{360^{\circ }}{365.2564\mathrm{d}}=0.985609^{\circ }{\mathrm{d}}^{-1}$$

3. ここで1恒星月を進め、何が不足しているかを確認する。月は出発点となった恒星の隣に戻ってくるが、太陽は θ₀ だけ先に進んでしまっており、月がその差を埋めて再び同じように照らされるには、さらに t₁ を必要とする。

   $${\theta }_0={\omega }_{\odot }{T}_{\mathrm{sid}}=0.985609\times 27.3217=26.9285^{\circ },t_1=\frac{{\theta }_0}{{\omega }_{\mathrm{M}}}=\frac{26.9285}{13.17634}=2.0437\mathrm{d}$$

4. 追いつくまでの間、太陽は待ってはくれない。その 2.0437 d の間に太陽は再び移動し、すでに開いていた差の割合 r だけ進み、さらにその補正を行っている間にも移動する——これは等比級数であり、真の遅延が t₁ 単体ではなく 1 − r で割った t₁ となるのはそのためである。r はわずか 0.075 であるため、この無限の追跡全体でも最初の見積もりより 8% 増えるだけで済む。

   $$r=\frac{{\omega }_{\odot }}{{\omega }_{\mathrm{M}}}=\frac{0.985609}{13.17634}=0.074801,\Delta t=t_1\sum _{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{t_1}{1-r}=2.0437\times 1.080849=2.2089\mathrm{d}$$

5. 恒星月にこの追いつき時間を加える——あるいは、月相は2つの速度の差で進むため、級数を完全に省略して 360° をその差で割っても同じ答えが得られる。どちらの経路をたどっても 29.5306 d に到達する。これはまさに朔望月の行が主張している数値であり、その値欄に表示されている数値は 29.531 d である。

   $$S=T_{\mathrm{sid}}+\Delta t=27.3217+2.2089=29.5306\mathrm{d}⟺S=\frac{360^{\circ }}{{\omega }_{\mathrm{M}}-{\omega }_{\odot }}=\frac{360}{12.190731}=29.5306\mathrm{d}$$

6. 次に、表の外のものを一切使わずに、もう1つの方法で計算を検証する：表示されている2つの値を引き算する。

   $$S-T_{\mathrm{sid}}=29.531-27.322=2.209\mathrm{d}\approx \Delta t=2.2089\mathrm{d}$$