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z = 3 のクエーサーは光速の 1.46 倍で後退している
同じ計算ツールページで、同じクエーサーに対して 0.88c と 1.46c という2つの値が表示される。どちらもバグではない。それらは異なる問いに答えており、銀河がどれほどの速度で遠ざかっているかを示しているのは一方だけである。
redshift calculator で、クエーサーのプリセットである z = 3、H₀ = 70 km/s/Mpc に設定する。すると、後退速度として 264,523 km/s（光速の 88.24%）と、4 行下に共動距離 6,264.4 Mpc が出力される。
その2番目の数値を取り、ハッブルの法則 v = H₀ · D を適用してみよう。1メガパーセクあたり秒速 70 キロメートルに 6,264.4 メガパーセクを掛けると、438,508 km/s となる。これは光速の 1.46 倍である。
同じ画面上の2つの数値から得られた、1つの天体に対する2つの速度。その差は 66% に及ぶ。大きい方の数値は、そのクエーサーまでの距離が増大する割合を示している。小さい方の数値は、別の問いに答えている。
c が上限となる公式
速度の行では、相対論的ドップラー効果の公式が用いられている。
v = c · [(1+z)² − 1] / [(1+z)² + 1]
これは波長の偏移を速度へと変換する正しい方法である（その偏移が空間内の運動によって生じている場合）。遠ざかるサイレン、連星、警察のレーダーなどで使われる公式であり、時間の遅れを補正した Doppler tool の物理そのものである。
その構造を見てみよう。分子は常に分母より小さいため、あらゆる z に対し、結果は常に c 未満となる。スライダーを宇宙マイクロ波背景放射の z = 1089 まで動かすと、表示画面には 299,792 km/s および c の 100.00% と表示される。これは、公式が近づくことはできても決して到達できない値へと、表示が切り上げられているためである。
この上限こそが手がかりである。特殊相対性理論はどのような物体も空間内を c で移動することを禁じているため、空間内の運動に基づいた公式に何を入力しても c を超える値を返すことはできない。実際の後退速度が c を超えている場合、この公式ではそれを表現できず、上限を下回る数値をそっと表示することになる。
宇宙論的赤方偏移の真の意味
遠方の銀河からの光が引き伸ばされるのは、銀河が逃げ去っているからではない。光が移動している間に、光が横切っていた空間自体が膨張したからである。
計算ツールは、このことを最も明解に示す指標としてスケール因子 a = 1/(1+z) を出力する。z = 3 においてスケール因子は 0.2500 であり、これはその光が出発したとき、宇宙が現在のちょうど 4 分の 1 の大きさであったことを意味する。途上にあるすべての波長は、銀河自体の運動に応じて 3.5 倍や 4.2 倍になるのではなく、一律に 4 倍へと引き伸ばされた。なぜなら、引き伸ばしは光が旅に費やした時間間隔の特性だからである。赤方偏移とは、光が放射されてから宇宙がどれだけ大きくなったかの測定値である。そう捉えれば、z はスピードメーターなどではなく、宇宙史にあてがわれた定規にほかならない。
後退は実在し、それは運動からではなく膨張から生じる。遠方の銀河は、周囲の局所的な空間においてはほぼ静止している。それらの空間内の漂流（固有速度と呼ばれる）はせいぜい数百 km/s であり、太陽の銀河系内での運動と同程度である。増大しているのは、私たちと銀河の間にある空間の量である。空間内を光より速く横切るものは存在しないが、空間自体にはそのような制約はない。「空間がある速度で膨張している」ということは、何かが所有する速度ではないからである。
単なる学術上の問題にとどまらなくなるところ
z が小さい場合、この違いは問題にならず、教科書に誤った公式が残り続けているのはそのためである。
近傍銀河の設定である z = 0.1 を例にとってみよう。ドップラーの行には 28,487 km/s と表示される。共動距離は 418.0 Mpc であるため、ハッブルの法則を適用すると 29,260 km/s となる。2.7% の不一致であり、H₀ 自体の不確定性よりも小さく、実用上目に見える違いではない。
では、ツールが出力する各共動距離から H₀ · D を計算し、数値を順に引き上げてみよう。
- z = 0.1 — D = 418.0 Mpc、後退速度 0.098c。ドップラーの行は 0.095c。一致。
- z = 1 — D = 3,274.9 Mpc、後退速度 0.765c。ドップラーの行は 0.600c。27% の開き。
- z = 1.5 — D = 4,315.6 Mpc、後退速度 1.008c。ドップラーの行は 0.724c。
- z = 3 — D = 6,264.4 Mpc、後退速度 1.463c。ドップラーの行は 0.882c。
- z = 1089 — D = 9,275.9 Mpc、後退速度 2.166c。ドップラーの行は 1.000c。
交差する地点は z = 1.5 のわずかに手前に位置するが、これは偶然ではない。後退速度が c に達するのは、共動距離がハッブル半径である c/H₀ = 4,282.7 Mpc に達する位置だからである。それよりも遠くにあるものはすべて光速より速く遠ざかっている。私たちが観測できる銀河の大半は、この境界を越えた先にある。
ここで当然の疑問が生じるが、その答えこそが最も面白い部分である。もしそのクエーサーまでの距離が 1.46c で広がっているのだとすれば、その光は一体どのようにして私たちが観測できるところまで届いたのだろうか？
なぜなら、特定の場所における膨張率は永久に固定されているわけではないからである。ハッブル半径の向こう側から私たちがいる方向へ放出された光子は、最初は押し戻される。私たちがいる場所と光子の間の空間が、光子が進む速さよりも速く広がるからである。しかし、旅を続けるうちに光子はより私たちに近い領域へと進入し、そこでは後退速度が低くなっている。さらに、減速膨張または緩やかに加速膨張する宇宙では、ハッブル半径自体も時間とともに大きくなっていく。その結果、光子は自身が進展をみせる膨張球体に追いつかれ、それ以降は距離を縮めていくことができる。現在私たちが目にしている z > 1.5 からの光は、その旅の初期において遅れをとっていたのである。デイヴィスとラインウィーバーはこの過程を丁寧に検証し、ここでの速度の行と同じように誤っている教科書の記述を幾つも特定している。
光行時間（ルックバックタイム）はこのスケールを具体的なものにしてくれる。z = 3 のクエーサーの光は 11.221 billion years 旅をしており、その天体は現在 6,264 Mpc 離れている。これは約 20 billion light years であり、宇宙の年齢の間に光が進むことのできた距離を十分に超えている。これは矛盾ではない。光子が飛行している間に、その背後で隙間が開いたのである。