本稿は機械翻訳であり、英語の原文が正式なものです。 原文を読む
z = 3 のクエーサーは光速の 1.46 倍で後退している
同じ計算ツールのページで、同一のクエーサーに対して 0.88c と 1.46c という二つの値が表示される。どちらもバグではない。両者は異なる問いに答えており、その銀河がどれほどの速さで遠ざかっているかを表しているのはその一方にすぎない。
redshift calculator をクエーサーのプリセットである z = 3、H₀ = 70 km/s/Mpc に設定する。すると後退速度 264,523 km/s（光速の 88.24%）が表示され、その2行下には共動距離 6,264.4 Mpc が表示される。
この2つ目の数値にハッブルの法則 v = H₀ · D を適用してみる。70 km/s/Mpc に 6,264.4 megaparsecs を掛けると 438,508 km/s となる。これは光速の 1.46 倍である。
同一画面上の二つの数値から得られた、一つの天体に対する二つの速度。その差は 66% に達する。大きいほうの速度は、そのクエーサーまでの距離が増大する割合である。小さいほうの速度は、それとは別の問いに答えている。
c を上限とする公式
速度の行には、相対論的ドップラー関係式が用いられている。
v = c · [(1+z)² − 1] / [(1+z)² + 1]
これは波長の偏移を速度へと換算する正しい方法である —— その偏移が空間内の運動によって引き起こされている場合には。遠ざかるサイレン、連星、警察の速度測定レーダーのための公式であり、時間の遅れを補正した Doppler tool の物理である。
その構造に注目してほしい。分子は常に分母より小さいため、いかなる z に対しても、計算結果は常に c 未満になる。スライダーを動かして宇宙マイクロ波背景放射の z = 1089 に合わせると、表示部には 299,792 km/s、そして c の 100.00% と示される。この公式が近づくことはあっても決して到達できない値へと、表示が切り上げられているのだ。
この上限こそが本質を物語っている。特殊相対性理論は何ものも空間内を c で移動することを禁じているため、空間内の運動に基づいた公式は、どんな値を代入しても c を超える値を返すことはできない。真の後退速度が c を超えている場合、この公式ではそれを表すことができず、代わりに上限を下回る数値を何気なく返してしまう。
宇宙論的赤方偏移の正体
遠方の銀河からの光が引き延ばされるのは、銀河が遠ざかっているからではない。光が旅をしている間に、光が横断している空間そのものが膨張したからである。
この計算ツールは、その最も明快な表現をスケール因子 a = 1/(1+z) として示している。z = 3 ではスケール因子は 0.2500 であり、その光が出発したとき、宇宙は現在のちょうど4分の1の大きさだったことを意味する。光の波長は飛行中にすべて一律に4倍に引き延ばされた —— 銀河自体の運動によって 3.5 倍や 4.2 倍になるのではなく、4倍である。引き延ばしは光が旅に費やした時間の性質だからだ。赤方偏移とは、光が放出されてから宇宙がどれだけ成長したかの測定値である。そう捉えれば、z は速度計などではなく、宇宙の歴史にあてられた物差しなのだ。
後退は現実に起きているが、それは運動によるものではなく膨張の結果である。遠方の銀河は、周囲の局所空間に対してほとんど静止している。空間の中を漂う銀河自身の運動（特異速度と呼ばれる）は毎秒数百 km 程度であり、太陽の銀河系内での運動と同程度である。増大しているのは、私たちとの間にある空間の量なのだ。空間を横切って光より速く移動できるものは存在しないが、空間自体にはそのような制約はない。「空間がある速度で膨張すること」は、何かが持っている速度ではないからだ。
単なる学問上の議論にとどまらなくなるところ
z が小さい領域ではこの違いは問題にならず、これこそが誤った公式が教科書に残り続けている理由である。
ツールを開いた初期値である z = 0.1 を見てみよう。ドップラーの行には 28,487 km/s と表示される。共動距離は 418.0 Mpc であり、ハッブルの法則を適用すると 29,260 km/s となる。その差は 2.7% であり、H₀ 自体の不確かさよりも小さく、実用上は何の影響も見られない。
では数値を上げて、ツールが表示する各共動距離から H₀ · D を計算してみよう。
- z = 0.1 — D = 418.0 Mpc, 後退速度 0.098c。ドップラーの行は 0.095c。一致している。
- z = 1 — D = 3,274.9 Mpc, 後退速度 0.765c。ドップラーの行は 0.600c。27% の開き。
- z = 1.5 — D = 4,315.6 Mpc, 後退速度 1.008c。ドップラーの行は 0.724c。
- z = 3 — D = 6,264.4 Mpc, 後退速度 1.463c。ドップラーの行は 0.882c。
- z = 10 — D = 9,275.9 Mpc, 後退速度 2.166c。ドップラーの行は 0.984c。
このツールは z = 10 で積分を停止するため、距離とルックバック時間の行はそれ以上変化しない。CMB の設定は速度とスケール因子を読み取るためのものであり、距離のためではない。
交差が起きるのはちょうど z = 1.5 の直前であり、これは偶然ではない。後退速度は、共動距離がハッブル半径である c/H₀ = 4,282.7 Mpc に達するまさにその場所で c に達する。それより遠くにあるものはすべて、光速よりも速く後退している。私たちが観測できる銀河の大部分は、その境界の向こう側にある。
もしそのクエーサーとの距離が 1.46c で広がっているのだとすれば、その光はそもそもどのようにして私たちに届いたのだろうか。
ある場所における膨張率は永久に固定されているわけではないからだ。ハッブル半径の向こう側から私たちに向かって放出された光子は、最初は後退してしまう。光子と私たちの間の空間が、光子が横断できる速さよりも速く広がるからである。しかし光子は旅を続けるうちに私たちに近い領域へと入っていき、そこでは後退速度がより小さくなる。さらに、減速膨張または緩やかな加速膨張をしている宇宙では、ハッブル半径そのものが時間とともに拡大する。光子は、自身が前進できる膨張球面に追いつかれ、そこからは距離を縮めていくことができる。現在私たちが目にしている z > 1.5 からの光は、その旅の初期を後退しながら過ごしたのである。デイヴィスとラインウィーバーはこのプロセスを丁寧に解き明かし、まさにこのツールの速度の行と同じ誤りを犯している一連の教科書の記述を指摘している。
ルックバック時間はそのスケールを具体的なものにしてくれる。z = 3 のクエーサーの光は 11.221 billion years かけて伝播してきており、その天体は現在 6,264 Mpc、約 20 billion light years 離れている。これは宇宙の年齢の間に光が進むことのできる距離を余裕で超えている。しかしこれは矛盾ではない。光子が飛行している間に、その背後の空間が広がったからである。