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Um quasar a z = 3 afasta-se a 1,46 vezes a velocidade da luz
A mesma página da calculadora apresenta 0,88c e 1,46c para o mesmo quasar. Nenhum dos dois é um erro. Respondem a perguntas diferentes, e apenas um diz respeito à velocidade a que a galáxia se afasta.
Defina o redshift calculator para z = 3, a predefinição de quasar, com H₀ = 70 km/s/Mpc. O calculador apresenta uma velocidade de recessão de 264 523 km/s — 88,24% da velocidade da luz — e, duas linhas abaixo, uma distância comóvel de 6 264,4 Mpc.
Pegue nesse segundo número e aplique-lhe a lei de Hubble, v = H₀ · D. Setenta quilómetros por segundo por megaparsec, vezes 6 264,4 megaparsecs, são 438 508 km/s. Isso é 1,46 vezes a velocidade da luz.
Duas velocidades para um único objeto, a partir de dois números no mesmo ecrã, diferindo em 66%. O valor maior é a taxa à qual a distância até esse quasar aumenta. O valor menor responde a uma pergunta diferente.
A fórmula com teto em c
A linha da velocidade utiliza a relação de Doppler relativista,
v = c · [(1+z)² − 1] / [(1+z)² + 1]
que é a forma correta de converter um desvio de comprimento de onda numa velocidade quando o desvio é causado pelo movimento através do espaço. É a fórmula para uma sirene a afastar-se, uma estrela binária, um radar da polícia: a física presente na Doppler tool, corrigida para a dilatação do tempo.
Repare na sua estrutura. O numerador é sempre menor do que o denominador, pelo que o resultado é sempre inferior a c, para qualquer z possível. Se deslocar o cursor para a radiação cósmica de fundo em micro-ondas a z = 1089, o mostrador apresenta 299 792 km/s e 100,00% de c, com o ecrã a arredondar para um valor do qual a fórmula se pode aproximar, mas que nunca alcança.
Esse teto é o sinal revelador. A relatividade restrita proíbe que qualquer coisa se mova através do espaço a c, pelo que uma fórmula baseada no movimento através do espaço não pode devolver mais do que c, independentemente dos valores introduzidos. Se a verdadeira taxa de recessão exceder c, esta fórmula não a consegue exprimir e, em vez disso, apresentará discretamente um valor abaixo do limite.
O que é, em vez disso, o desvio para o vermelho cosmológico
A luz de uma galáxia distante não é esticada porque a galáxia se está a afastar. É esticada porque o espaço que a luz atravessa se expandiu enquanto ela estava em trânsito.
A calculadora apresenta a afirmação mais clara disto através do seu fator de escala: a = 1/(1+z). A z = 3 o fator de escala é 0,2500, o que significa que o universo tinha exatamente um quarto do seu tamanho atual quando essa luz partiu. Todos os comprimentos de onda em trânsito foram esticados pelo mesmo fator de quatro — não por 3,5 ou por 4,2 consoante o movimento próprio da galáxia, mas por quatro, porque o estiramento é uma propriedade do intervalo de tempo que a luz passou a viajar. O desvio para o vermelho é uma medida de quanto o universo cresceu desde a emissão. Visto dessa forma, z não é de todo um velocímetro; é uma régua estendida ao longo da história cósmica.
A recessão é real e resulta da expansão, e não do movimento. As galáxias distantes estão praticamente imóveis no espaço local que as rodeia: a sua deslocação através dele, denominada velocidade peculiar, é de algumas centenas de km/s, da mesma ordem de grandeza do movimento do Sol em torno da galáxia. O que aumenta é a quantidade de espaço entre nós. Nada atravessa o espaço mais depressa do que a luz; o próprio espaço não está sujeito a tal restrição, porque o "espaço a expandir-se a uma velocidade" não é uma velocidade que algo possua.
O ponto em que deixa de ser académica
Para valores pequenos de z a distinção não tem relevância, e é por isso que a fórmula incorreta sobrevive nos manuais escolares.
Considere-se z = 0,1, o valor inicial da ferramenta. A linha de Doppler indica 28 487 km/s. A distância comóvel é de 418,0 Mpc, pelo que a lei de Hubble dá 29 260 km/s. Uma discrepância de 2,7% — menor do que a própria incerteza em H₀ e impercetível em qualquer aplicação prática.
Agora vá aumentando o valor, calculando H₀ · D a partir de cada distância comóvel apresentada pela ferramenta:
- z = 0,1 — D = 418,0 Mpc, recessão de 0,098c. A linha de Doppler indica 0,095c. Concordância.
- z = 1 — D = 3 274,9 Mpc, recessão de 0,765c. A linha de Doppler indica 0,600c. Uma diferença de 27%.
- z = 1,5 — D = 4 315,6 Mpc, recessão de 1,008c. A linha de Doppler indica 0,724c.
- z = 3 — D = 6 264,4 Mpc, recessão de 1,463c. A linha de Doppler indica 0,882c.
- z = 10 — D = 9 275,9 Mpc, recessão de 2,166c. A linha de Doppler indica 0,984c.
A ferramenta interrompe a integração em z = 10, pelo que as linhas da distância e do tempo de viagem da luz não sofrem alterações acima disso: a definição para a radiação cósmica de fundo pode ser lida para obter a velocidade e o fator de escala, mas não para a distância.
O cruzamento situa-se logo abaixo de z = 1,5, e não é uma coincidência: a taxa de recessão atinge c exatamente onde a distância comóvel alcança c/H₀ = 4 282,7 Mpc, o raio de Hubble. Qualquer objeto mais distante do que isso está a afastar-se mais depressa do que a luz. A grande maioria das galáxias que conseguimos ver encontra-se para lá desse limite.
Se a distância até esse quasar está a crescer a 1,46c, como é que a sua luz conseguiu sequer chegar até nós?
Porque a taxa de expansão num determinado local não é fixa para sempre. Um fotão emitido na nossa direção para além do raio de Hubble perde terreno inicialmente: o espaço entre nós e ele cresce mais depressa do que ele consegue atravessar. Mas, à medida que viaja, entra em regiões mais próximas de nós, onde a taxa de recessão é inferior, e num universo em desaceleração ou em aceleração lenta, o próprio raio de Hubble expande-se ao longo do tempo. O fotão pode ser alcançado pela esfera em expansão dentro da qual progride e, a partir desse momento, começa a encurtar a distância. A luz que hoje vemos de z > 1,5 passou a sua fase inicial a ficar para trás. Davis e Lineweaver detalham este processo com rigor e identificam uma série de afirmações em manuais escolares que erram exatamente da mesma forma que a linha da velocidade faz aqui.
O tempo de viagem da luz torna a escala concreta. A luz do quasar a z = 3 esteve a viajar durante 11,221 mil milhões de anos, e o objeto encontra-se agora a 6 264 Mpc de distância, cerca de 20 mil milhões de anos-luz, confortavelmente mais do que a distância que a luz poderia ter percorrido na idade do universo. Não é uma contradição. O espaço abriu-se atrás do fotão enquanto este se encontrava em viagem.