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Um quasar a z = 3 está a afastar-se a 1,46 vezes a velocidade da luz
A mesma página de calculadora fornece 0,88c e 1,46c para o mesmo quasar. Nenhum é um erro. Respondem a perguntas diferentes, e apenas um deles diz respeito à velocidade a que a galáxia se está a afastar.
Ajuste a redshift calculator para z = 3, a predefinição para quasar, com H₀ = 70 km/s/Mpc. Apresenta uma velocidade de recessão de 264.523 km/s — 88,24% da velocidade da luz — e, quatro linhas abaixo, uma distância comóvel de 6.264,4 Mpc.
Pegue nesse segundo número e aplique-lhe a lei de Hubble, v = H₀ · D. Setenta quilómetros por segundo por megaparsec, multiplicados por 6.264,4 megaparsecs, dá 438.508 km/s. Isto é 1,46 vezes a velocidade da luz.
Duas velocidades para um mesmo objeto, a partir de dois números no mesmo ecrã, divergindo em 66%. A maior é a taxa à qual a distância a esse quasar está a aumentar. A menor responde a uma pergunta diferente.
A fórmula que tem como limite c
A linha da velocidade utiliza a relação de Doppler relativista,
v = c · [(1+z)² − 1] / [(1+z)² + 1]
que é a forma correta de converter um desvio no comprimento de onda numa velocidade quando o desvio é provocado pelo movimento através do espaço. É a fórmula para uma sirene em afastamento, uma estrela binária, um radar de trânsito — a física na Doppler tool, corrigida para a dilatação do tempo.
Observe a sua estrutura. O numerador é sempre menor do que o denominador, pelo que o resultado fica sempre abaixo de c, para qualquer z possível. Desloque o cursor até à radiação cósmica de fundo em z = 1089 e o ecrã indica 299.792 km/s e 100,00% de c — arredondando a leitura para um valor que a fórmula consegue aproximar, mas nunca alcançar.
Esse teto é o sinal revelador. A relatividade restrita proíbe que qualquer coisa se mova através do espaço a c, pelo que uma fórmula baseada no movimento pelo espaço não pode devolver mais do que c, independentemente dos dados introduzidos. Se a verdadeira taxa de recessão ultrapassar c, esta fórmula não a consegue expressar e reportará silenciosamente um valor abaixo do limite.
O que é, afinal, o desvio para o vermelho cosmológico
A luz de uma galáxia distante não é esticada porque a galáxia está a fugir. É esticada porque o espaço que a luz atravessa se expandiu enquanto ela estava em trânsito.
A calculadora apresenta a declaração mais clara disto sob a forma do seu fator de escala: a = 1/(1+z). Em z = 3, o fator de escala é 0,2500, o que significa que o universo tinha exatamente um quarto do seu tamanho atual quando essa luz partiu. Cada comprimento de onda em trânsito foi esticado pelo mesmo fator de quatro — não por 3,5 nem por 4,2 dependendo do movimento próprio da galáxia, mas por quatro, porque o estiramento é uma propriedade do intervalo de tempo que a luz passou a viajar. O desvio para o vermelho é uma medição do quanto o universo cresceu desde a emissão. Lido dessa forma, z não é de todo um velocímetro; é uma régua assente sobre a história cósmica.
A recessão é real e decorre da expansão, e não do movimento. As galáxias distantes estão praticamente estacionárias no espaço local ao seu redor — a sua deriva própria através dele, denominada velocidade peculiar, é de algumas centenas de km/s, a mesma ordem de grandeza do movimento do Sol em redor da galáxia. O que aumenta é a quantidade de espaço entre nós. Nada atravessa o espaço mais depressa do que a luz; o próprio espaço não está sujeito a tal restrição, porque o "espaço a expandir-se a uma velocidade" não é uma velocidade que algo possua.
Onde deixa de ser uma questão académica
Para valores pequenos de z a distinção não importa, e é por isso que a fórmula errada sobrevive nos manuais escolares.
Tome-se z = 0,1, a definição para galáxias locais. A linha de Doppler indica 28.487 km/s. A distância comóvel é de 418,0 Mpc, pelo que a lei de Hubble dá 29.260 km/s. Uma discrepância de 2,7% — menor do que a própria incerteza em H₀, e invisível em qualquer aplicação prática.
Agora suba gradualmente, calculando H₀ · D a partir de cada distância comóvel apresentada pela ferramenta:
- z = 0,1 — D = 418,0 Mpc, recessão de 0,098c. A linha de Doppler indica 0,095c. Concordância.
- z = 1 — D = 3.274,9 Mpc, recessão de 0,765c. A linha de Doppler indica 0,600c. Uma diferença de 27%.
- z = 1,5 — D = 4.315,6 Mpc, recessão de 1,008c. A linha de Doppler indica 0,724c.
- z = 3 — D = 6.264,4 Mpc, recessão de 1,463c. A linha de Doppler indica 0,882c.
- z = 1089 — D = 9.275,9 Mpc, recessão de 2,166c. A linha de Doppler indica 1,000c.
O cruzamento situa-se logo abaixo de z = 1,5, e não é uma coincidência: a taxa de recessão atinge c exatamente onde a distância comóvel atinge c/H₀ = 4.282,7 Mpc, o raio de Hubble. Qualquer objeto mais distante do que isso está a afastar-se mais depressa do que a luz. A grande maioria das galáxias que conseguimos ver está para além desse limite.
O que levanta a pergunta óbvia, e a resposta é a melhor parte. Se a distância a esse quasar está a aumentar a 1,46c, como é que a sua luz chegou até nós?
Porque a taxa de expansão num determinado local não é fixa para sempre. Um fotão emitido na nossa direção a partir de além do raio de Hubble perde terreno inicialmente — o espaço entre nós e ele cresce mais depressa do que a sua capacidade de o atravessar. Mas, à medida que viaja, entra em regiões mais próximas de nós, onde a taxa de recessão é menor, e, num universo em desaceleração ou em expansão lentamente acelerada, o próprio raio de Hubble cresce com o tempo. O fotão pode ser alcançado pela esfera em expansão dentro da qual progride e, a partir daí, encurta a distância. A luz que vemos agora vinda de z > 1,5 passou a sua fase inicial a ficar para trás. Davis e Lineweaver analisam isto detalhadamente e identificam uma série de afirmações em manuais escolares que erram exatamente da mesma forma que a linha da velocidade faz aqui.
O tempo de viagem da luz torna a dimensão concreta. A luz do quasar a z = 3 viaja há 11,221 mil milhões de anos, e o objeto encontra-se agora a 6.264 Mpc de distância — cerca de 20 mil milhões de anos-luz, confortavelmente mais do que a distância que a luz poderia ter percorrido na idade do universo. Não se trata de uma contradição. A distância abriu-se atrás do fotão enquanto este estava em trânsito.