視差距離計算機

d（pc）= 1 / p（秒角）— 三角視差法は宇宙の距離梯子全体の土台です。

計算例 — 視差距離計算機

距離（パーセク）	10 pc
距離（光年）	32.6156 ly
距離（天文単位）	2062650 AU

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レッスン

理論 — 視差距離計算機

視差距離は、地球の公転軌道を基線とした三角測量によって測定される。1月と7月に近くの恒星を観察すると、遠方の背景に対して位置がずれて見える。その全体のずれの半分が視差角 p であり、恒星から見た地球–太陽間の距離が見込む角に相当する。

各記号の意味

p: 秒角単位で表した視差角である — 年周運動による往復幅の全体ではなく、その半分を意味する。1秒角は 1/3600 度であり、1秒角以上の視差を持つ恒星は存在しない。天球上で最大の実際の視差でも 0.8″ 未満である。
d: 距離。角度の逆数そのものです。角度を半分にすれば距離は二倍になります。0.1″なら10 pc、0.05″なら20 pcとなります。
pc: 長さの単位としてのパーセクである。これは独立した長さの単位というよりは、計算上の利便性のための定義であり — 視差角が正確に 1″ となる距離を指す。この定義こそが、公式に定数が含まれない唯一の理由である。
ly: 天文学者以外がよく用いる単位で表した同じ距離である光年。1パーセクは 3.2616 光年に相当するため、2行目の数値は常に1行目の数値にこの値を掛け合わせたものとなる。

公式の導き方

地球–太陽間の距離 1 AU は非常に細長い直角三角形の短辺であり、恒星までの距離が長辺となる。恒星の頂点における角が p である。
細長い三角形において、p がラジアン単位であれば tan p ≈ p の小角近似が成り立ち、この近似による誤差は、過去に測定されたいかなる視差の測定誤差よりも小さい。したがって、p をラジアン単位とすると d = 1 AU / p となる。
ラジアンよりも秒角を用いる方が実用的であるが、単位換算によって定数 — 1ラジアンあたりの秒角数である約 206265 — が導入される。これにより d = 206265 AU / p″ となる。
この定数を毎回計算する代わりに、天文学者はこれを特別な単位と名付けた。1 パーセクは 206265 AU である。式全体を割ると、公式は d = 1/p という簡潔な形に収束し、これが最上行に表示される計算式となる。角度を 1 に設定すると、距離は正確に 1 pc と表示される。

表示の読み方

逆数の関係を理解するには、一つの数値を眺めるよりも、角度を段階的に小さくしていくのが一番です。0.77″なら1.2987 pc、0.1″なら10 pc、0.02″なら50 pcとなります。光年の行は、一パーセクにつき3.26156という厳密な比率で最初の行に連動します（10 pcのときに32.6156 lyを示します）。したがって単位が変わっただけで、最初の行にない情報が含まれているわけではありません。

前提: 測定した位置のずれが、恒星自身の運動ではなく視差であること。そして、年間の変動幅をそのまま使うのではなく半分にしていること。後者を間違えると答えがきっちり二倍ずれてしまいますが、どちらの誤りも一回の測定で見抜くのは困難です。
成り立たない場合: 数式自体が破綻することはない。破綻するのは測定であり、数式の値によってではなく遠い距離において起こる。d = 1/p であるため、角度の一定の測定誤差は、距離の2乗に比例して増大する距離の誤差となる — 0.02″ において 0.002″ の不確かさは角度の10%に過ぎないが、距離の結果を約 45 〜 55 pc の間で大きく変動させる。これこそが、年周視差が宇宙の距離のはしごの第一段階に過ぎず、その全体ではない理由である。

角度が小さすぎて、地動説はもう少しで沈むところだった 🖖

地球が本当に動いているなら、近くの星は 1 年のあいだに見かけの位置をずらすはずです。コペルニクスは 1543 年にそれを承知していましたし、批判者たちも同じでした。彼らはそのようなずれが一度も観測されていないことを指摘し、地球は静止していると結論しました。証拠からの推論としては正しかったのです。角度が単に微小すぎたのでした。もっとも近い恒星であるプロキシマ・ケンタウリでさえ、年周視差はわずか 0.7685 秒角、3 キロメートル先の硬貨の幅ほどです。これを測れる者は 3 世紀近く現れませんでした。フリードリヒ・ベッセルが 1838 年に白鳥座 61 番星で、約 0.31 秒角としてついに成功し、年周視差は地動説への反論であることをやめ、距離のはしごの最初の一段になったのです。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

洞察1によれば、フリードリヒ・ベッセルは1838年に61 Cygni の視差を約 0.31 秒角と測りました。史上初の恒星までの距離です。実際に入力してみてください。距離はいくらで、プロキシマ・ケンタウリの 0.7685″ と比べるとどうでしょう。

答えを表示

3.2258 pc、すなわち 10.5212 ly。プロキシマは 0.7685″ で 1.3012 pc、4.2441 ly なので、ベッセルの星は約2.5倍遠いことになります。彼は最も近い星を狙ったのではありません。61 Cygni を選んだのは天球上を速く動くからで、これは別の、そして良い手がかりです。固有運動の大きい星はたいてい近い星なのです。
角度の入力欄は 2 秒角で止まります。そこに合わせてください。返ってくる距離はいくらで、その図の何がおかしいでしょう。

答えを表示

0.5 pc、つまり 1.6308 ly。そこには何もありません。太陽に最も近い恒星はプロキシマ・ケンタウリで 4.2441 ly ですから、0.7685″ より上、この入力欄の上半分すべてが、恒星の一つもない空間を指していることになります。式はさらに先まで進めます。d = 1/p に最小距離はありません。欄が止まるのは、計算が止まるからではなく、答えが不合理になる手前だからです。

全プロセスの詳細解説

視差0.1秒角の恒星までの距離 5 ステップ
ある恒星の視差が0.1秒角であるとします。この恒星までの距離を求めてください。さらに、この測定手法が通用しなくなる距離と、その理由を考えてみましょう。
1. 視差は、地球の軌道半径を既知の底辺とする三角形である。6か月間で基線は2 AUとなり、全ずれの半分が視差角pとなる。このような角度では、タンジェントはラジアン単位での角度そのものと等しくなり、これが計算を極めて簡単なものにしている。
  
  $tan p = \frac{1 AU}{d} \approx p (radians)$
2. パーセクは計算を極めて簡潔にするよう定義されている。すなわち、1 AUが見込む角度が1秒角となる距離である。この単位を選択すれば、両者の関係は定数を一切含まない逆数となる。
  
  $d [pc] = \frac{1}{p [ arcsec ]} = \frac{1}{0.1} = 10 pc$
3. 単位の換算は単なる計算上の整理に過ぎず、上の計算ツールはp = 0.1″に対するこれら3つの値をすべて出力する。
  
  $10 pc \times 3.26156 = 32.6156 ly, 10 \times 206265 = 2062650 AU$
4. ここからは、ツールには表示されない部分の解説である。関係式が逆数であるため、距離の相対誤差は角度の相対誤差と等しくなる。角度測定における1%の誤差は、距離における1%の誤差をもたらす。
  
  $\frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p} : p = 0. 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 1%$
5. しかし、距離が大きくなるにつれて角度は小さくなるのに対し、測定誤差は小さくならない。同じ±0.001″の測定機器を用いてp = 0.001″まで測定距離を伸ばすと、相対誤差は100%に達し — 測定値はもはや何の意味もなさなくなる。
  
  $p = 0.00 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 100%$
解答

10パーセク、32.6156光年。 視差が正確であると同時に測定可能な距離が短いのは、この逆数関係のためである。誤差は距離に比例して増大するため、あらゆる視差観測の到達限界は、どれほど暗い天体が見えるかではなく、角度の測定精度によって決定される。ヒッパルコス衛星は約0.001″まで測定でき、数百パーセクに到達した。ガイア衛星は~0.00002″に達し、数万パーセクまで測定できる。その限界を超えると、天文学は測定手法を完全に変更しなければならない。これこそが宇宙の距離のはしごに段階が存在する理由である。

$d = \frac{1}{p} \frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p}$

学習の道すじ

どれくらい遠くにあるのか？

参考文献 (3)

The first stellar parallax ever measured, and the source of insight 1’s 0.31″: Bessel, "Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans." Astronomische Nachrichten 16, 65–96, 1839.
The mission the challenge block credits with sub-milliarcsecond astrometry: T. Prusti, J. H. J. de Bruijne, A. G. A. Brown, A. Vallenari, C. Babusiaux & C. A. L. Bailer-Jones, "The Gaia mission." Astronomy & Astrophysics 595, A1, 2016.
The parsec as a defined unit, which is why d = 1/p has no constant in it: International Astronomical Union, Resolution B2 on recommended zero points for the absolute and apparent bolometric magnitude scales. XXIX General Assembly, Honolulu, 2015.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。