天文単位換算ツール

パーセクとは、地球軌道の半径が正確に1秒角を見込む距離です。この定義に基づいて、まずメートル単位で、次に光年単位で構築しなさい。 これは1 pcをlyに変換する長さモードです。ここで与えられている数値は測定値ではなくすべて定義値です：1 au = 1.495978707 × 10¹¹ m、c = 2.99792458 × 10⁸ m/s、および1年が365.25日。

1. 三角法には「度」という単位の概念がないため、まず角度をラジアンに変換します。1周は2πラジアンであり、かつ 1,296,000 秒角でもあるため、調べるべき定数なしで変換が定まります。

   $$1^{\prime \prime }=\frac{2\pi }{1296000}\mathrm{rad}=\frac{\pi }{648000}=4.848137\times 10^{-6}\mathrm{rad}$$

2. 直角三角形を描きます。auが短辺、恒星までの距離が長辺であり、視差角は恒星の位置にあります。パーセクとは、その角度を1秒角にするような d の値です。

   $$\tan p=\frac{1\mathrm{au}}{d}⟹d=\frac{1\mathrm{au}}{\tan 1^{\prime \prime }}$$

3. ここが立ち止まって考える価値のあるステップです。なぜなら、通常は見過ごされがちだからです。1秒角の正接（タンジェント）を角度そのもので置き換えることは無償ではありません。主要な補正項は θ³/3 であり、したがって相対的な影響は θ²/3、およそ10¹²分の8です。変換された値は有効数字4桁で表示されているため、近似による違いが見えるようになるには12桁が必要です。

   $$\tan \theta -\theta \approx \frac{1}{3}{\theta }^3⟹\frac{\tan 1^{\prime \prime }-1^{\prime \prime }}{1^{\prime \prime }}\approx 7.8\times 10^{-12}$$

4. その角度で割ることは、648,000/π を掛けることと同じです。この因子こそが、パーセクという単位の全体を構成しています。

   $$1\mathrm{pc}=\frac{648000}{\pi }\times 1.495978707\times 10^{11}\mathrm{m}=3.086\times 10^{16}\mathrm{m}$$

5. 光年の計算でも、どの「年」を用いるか同様の注意が必要です。これは正確に 365.25 日のユリウス年であり、c は定義により厳密な値であるため、この積もまた厳密な値となります。

   $$1\mathrm{ly}=c{t}_{\mathrm{yr}}=(2.99792458\times 10^8)(3.15576\times 10^7)=9.4607\times 10^{15}\mathrm{m}$$

6. 割り算を行います。どちらの数値も観測に由来するものではないため、その比は厳密な算術結果です。その桁数が終わるのは表示が終了する場所であり、不確かさが存在する場所ではありません。

   $$\frac{3.085678\times 10^{16}}{9.460730\times 10^{15}}=3.2616⟹1\mathrm{pc}=3.262\mathrm{ly}$$