視直径変換ツール

小角度の公式 θ ≈ D/d は、厳密な関係式 θ = 2 arctan(D/2d) の一次近似です。厳密な公式は幾何学から導かれます:観測者は距離dの位置から長さDの弦を見ており、全体の角度は半弦を距離で割った値の逆正接の2倍になります。この近似が成り立つのは、xが小さいときに arctan(x) ≈ x となるためです。月の場合(D ≈ 3475 km、d ≈ 384,000 km)、比D/d ≈ 0.0090で、誤差はわずか0.002%です。10°ではすでに誤差が0.25%になり、60°では15%に達します。天文学ではほぼすべての対象がD ≪ dを満たすため、近似は百万分の一の精度で成り立ちますが、近距離の物体(50 m先のサッカー場、接近フライバイ中の惑星など)では逆正接の公式が重要になります。

視直径は、物体の本当の大きさではなく、どれだけ大きく見えるかを表します — 長さではなく角度です。遠くの高層ビルと腕を伸ばして持った硬貨が同じ大きさに見えることがあるのは、大きさと距離が比 D/d の中で釣り合うからです。太陽は月より約400倍大きいのに、距離も約400倍遠いため、どちらも空では約0.5°を占めます — これが皆既日食を可能にする偶然です。

小角近似は平坦で静的な空間を前提としますが、宇宙論はそれを覆します。太古の光が私たちに届くあいだに宇宙が膨張したため、角径距離は単調ではなく、赤方偏移 z ≈ 1.6 付近で最大になります。したがって、一定の大きさの銀河が空で小さくなるのはその点までで、それより遠い(より若い)銀河はむしろ大きく見えるのです。