恒星進化エクスプローラー

質量21 M☉の恒星。三つの累乗律からその光度、温度、半径、寿命を求め、これら三つが同時に成り立ち得るかを検証しなさい。これはリゲルの状態です。

1. 光度は三つの関係の中で最も変化が急激であり、大質量星が極めて短命で過酷である理由でもあります。21倍の質量は、およそ20万倍の光度を意味します。

   $$L=M^4=21^4=194481\approx 1.94\times 10^5{L}_{\odot }$$

2. 表面温度の上昇ははるかに緩やかであり、質量の21倍の増加に対して5倍程度にとどまります。これが、主系列がH–R図上で垂直な直線ではなく長い対角線を描く理由です。

   $$T_{\text{eff}}=5778M^{0.54}=5778\times 21^{0.54}=5778\times 5.176=29907\mathrm{K}$$

3. 半径と寿命は残りの二つのフィッティングから得られます。太陽の100万分の一の寿命という点こそがこのツールの本質であり、この恒星は地球の大陸移動が完了する前にその一生を終えます。

   $$R=M^{0.8}=21^{0.8}=11.42R_{\odot },\tau =\frac{10}{M^3}=\frac{10}{9261}=1.08\times 10^{-3}\mathrm{Gyr}=1.08\mathrm{Myr}$$

4. 寿命の法則は、ここにある中で唯一フィッティングではない関係式です。利用可能な燃料は質量に比例し、一秒あたりに消費される燃料は光度に比例します。これを割り算します。

   $$\frac{\tau }{{\tau }_{\odot }}=M^{-3},\frac{L}{L_{\odot }}=M^4⟹\frac{\text{fuel used}}{\text{fuel available}}\propto \frac{M^4\cdot M^{-3}}{M}=1$$

5. ここで検証を行います。シュテファン＝ボルツマンの法則は例外のない原則です。恒星の光度はその表面積に σT⁴ を掛け合わせたものそのものだからです。したがって、半径と温度の指数が光度の指数をあらかじめ決定しています。

   $$L=4\pi R^2\sigma T^4⟹\frac{L}{L_{\odot }}=M^{1.6}{\left(M^{0.54}\right)}^4=M^{3.76}=9.37\times 10^4$$

6. L に関する二つの答えの比をとります。それは質量の整った累乗の形となり、この不一致が計算上のミスではなく構造的なものであることを示しています。

   $$\frac{M^4}{M^{3.76}}=M^{0.24}=21^{0.24}=2.08$$