ヒル球計算機

太陽に奪われることなく物体が地球を公転できるのは地球からどれほど離れた距離まででしょうか。そして月はその限界の内側に十分収まっているでしょうか。 地球: m = 5.972 × 10²⁴ kg、a = 1 AU、e = 0.0167。太陽: M = 1.989 × 10³⁰ kg。

1. ヒル半径とは、ある距離において小天体に及ぶ惑星の引力と太陽の潮汐力とが釣り合う距離のことです。立方根はこの釣り合いの特徴的な表れです。重力が距離の逆二乗で減衰するのに対し潮汐項はそうではないため、質量と質量の比の3分の1乗をとることになります。

   $$r_H\approx a(1-e)\sqrt[3]{\frac{m}{3M}}$$

2. 最初に質量比を計算します — これは上の計算ツールで「質量比」として表示される数値であり、m/3M であって m/M ではないことに注意してください。

   $$\frac{m}{3M}=\frac{5.972\times 10^{24}}{3(1.989\times 10^{30})}=1.00\times 10^{-6}$$

3. 立方根をとります。立方根がいかに劇的に数値を圧縮するかに着目してください。100万分の1は100分の1になります。そのため、地球の質量は太陽の100万分の1であるにもかかわらず、地球の力学的な影響圏の大きさは太陽までの距離の約100分の1にも達するのです。

   $$\sqrt[3]{1.00\times 10^{-6}}=0.01000$$

4. 近日点距離（軌道上で最も太陽に接近する点）を掛けます。太陽の重力の影響が最も強くなり、限界距離が最小となるのはこの点だからです。

   $$r_H=1\mathrm{AU}\times (1-0.0167)\times 0.01000=0.009837\mathrm{AU}=1.472\times 10^6\mathrm{km}$$

5. 次に、この限界に対して月を検証します。順行軌道が安定して存在できるのは概ねヒル半径の半分までであるため、月が超えなければならない基準線はそこになります。

   $$r_{\text{Moon}}=3.84\times 10^5\mathrm{km}=0.26r_H<0.5r_H$$