重力波計算機

2つの質量、距離、開始周波数を入力すると、チャープ質量、合体までの時間、信号強度がわかります。

初期値 — 重力波計算機

主質量 m₁ (M☉)	36
伴質量 m₂ (M☉)	29
光度距離 (Mpc)	440
開始周波数 f₀ (Hz)	20

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4キロメートルの腕が陽子より小さく動く 🖖

LIGOは、4キロメートルのレーザー干渉計の2本の腕が約10²¹分の1というごくわずかな割合で伸縮する様子を観測することで重力波を検出します。これは陽子の幅よりも数百倍ほど小さい歪みです。この信号が信頼できるものになるのは、数千キロメートル離れた検出器で同じ波形が現れなければならないためで、これにより通過するトラックや遠方の地震といった局所的なノイズから本物のチャープを区別できます。周波数も一定ではありません。2つの天体が渦を巻きながら互いに近づくにつれて軌道エネルギーが重力放射として失われるため、波の周波数は合体の瞬間まで上昇し続けます — これがこのツールの曲線の名前の由来である「チャープ」です。

チャープ質量が教えてくれること 🖖

2つのコンパクト天体が渦を巻いて近づくとき、波形はそれぞれの質量を別々に伝えるわけではありません。波形はほぼ1つの組み合わせ、すなわちチャープ質量 M_c = (m₁m₂)^3/5/(m₁+m₂)^1/5 だけで決まります。この1つの数値が周波数の上昇する速さを支配するため、チャープの上昇率を測ればチャープ質量が直接得られます。だからこそこのツールはそれを中心に据えています。

合体は標準サイレン 🖖

重力波の振幅は、物理学者が第一原理から計算できる形で発生源の真の光度距離に依存します — ケフェイドや超新星による較正は不要です。これにより各合体は標準サイレンになります。チャープから質量を、振幅から距離を読み取れるのです。これに赤方偏移を組み合わせれば、ハッブル定数の独立した測定が得られます。2017年の中性子星合体 GW170817 が宇宙の膨張速度をめぐる議論に一石を投じたのは、まさにこの方法によるものでした。

全プロセスの詳細解説

440 Mpcにおける36および29太陽質量 6 ステップ
440 Mpcにある36太陽質量と29太陽質量の連星。チャープ質量、信号の継続時間、およびLIGOのミラーが実際に移動する距離を求めよ。次に、入力値のいずれにも依存しないパネル上の1つの数値を特定せよ。
1. 2つの質量は単一の組み合わせとしてのみ波形に現れ、それがこの量である。チャープ質量は検出器が直接測定するものであり、個々の質量はこの公式が捉えられない信号部分から後で抽出しなければならない。
  
  $M = \frac{( m _{1} m _{2} ) ^{3/5}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{1/5}} = \frac{( 36 \times 29 ) ^{3/5}}{6 5 ^{1/5}} = \frac{104 4 ^{0.6}}{6 5 ^{0.2}} = \frac{64.77}{2.305} = 28.1 M_{⊙}$
2. 合体までの時間は、チャープ質量の −5/3 乗、および進入周波数の −8/3 乗に比例する。どちらの指数も大きいため、両方の入力は見た目以上に大きな影響を与える。
  
  $τ \approx 2.18 (\frac{1.21}{M})^{5/3} (\frac{100}{f _{0}})^{8/3} = 2.18 (0.04306)^{5/3} (5)^{8/3} = 0.843 s$
3. 最内郭安定円軌道はインスパイラルが終了する限界であり、その周波数は全質量に反比例する。すなわち、より重い連星ほど低い音高で合体する。65太陽質量ではそれが 68 Hz となり、LIGOの帯域の低周波数端付近に位置する。このイベントがチャープ音ではなくドンという低音として捉えられたのはそのためである。
  
  $f_{ISCO} = \frac{c ^{3}}{6 6 π G M _{tot}} = \frac{2.694 \times 1 0 ^{25}}{14.70 \times 2.711 \times 1 0 ^{22}} = 67.6 Hz$
4. ひずみは無次元量であり、空間の相対的な伸縮率を表す。これにアーム長を掛け合わせることで距離が得られる。
  
  $h_{peak} \approx 1.16 \times 1 0^{- 21} ⟹ Δ L = 4000 \times 1.16 \times 1 0^{- 21} = 4.6 \times 1 0^{- 18} m$
5. その距離を別のものと比較してみる。陽子の電荷半径は 8.4 × 10⁻¹⁶ m であり、ミラーの移動量はその100分の1未満である。
  
  $\frac{4.6 \times 1 0 ^{- 18}}{8.41 \times 1 0 ^{- 16}} = \frac{1}{181} of a proton’s radius$
6. 次に、決して変化しない行に目を向ける。連星のいかなる特徴もこの数値には残らない。これは測定値ではなく理論上の上限値である。
  
  $L_{GW} \sim \frac{c ^{5}}{5 G} = \frac{2.42 \times 1 0 ^{42}}{3.34 \times 1 0 ^{- 10}} = 7.26 \times 1 0^{51} W = 1.90 \times 1 0^{25} L_{⊙}$
解答

光度であり、その値は c⁵/5G である。スライダーを操作すると他のすべての行が変化するが、この値は質量、距離、初期周波数が何であれ 1.90 × 10²⁵ L☉ のままである。なぜなら、これは光速と万有引力定数のみで構成されており、他には何も含まれていないからである。これは一般相対性理論においていかなる過程が放射し得る最大パワーであり、ほんの数ミリ秒間、この合体は観測可能な宇宙のすべての星が光として放つ総量以上のパワーを放出した。スケールの反対側の極端な数値も同じパネルにある。LIGOの 4 km のアームにおける 1.16 × 10⁻²¹ のひずみは 4.6 × 10⁻¹⁸ m の長さの変化であり、これは陽子の半径の 181 分の 1 に相当する。どちらの数値も同じ出来事を記述している。

$M = 28.1 M_{⊙}, τ = 843 ms, f_{ISCO} = 67.6 Hz, L_{GW} = \frac{c ^{5}}{5 G}$
100 Mpcにおけるそれぞれ1.4太陽質量の2つの中性子星 5 ステップ
100 Mpcの位置にある、それぞれ 1.4 太陽質量の2つの中性子星。再計算を行うことなく、指数だけを用いて上のブラックホールの解答からすべての行の値を予測せよ。
1. チャープ質量のみを再計算する。等質量の場合、チャープ質量は共通の質量の 2^−1/5 倍へと単純化され、1.4 のペアでは 1.22 となる。
  
  $M = \frac{( 1.4 \times 1.4 ) ^{3/5}}{2. 8 ^{1/5}} = \frac{1.9 6 ^{0.6}}{2. 8 ^{0.2}} = \frac{1.4869}{1.2200} = 1.22 M_{⊙}$
2. それ以外はすべて比率である。継続時間の指数は −5/3 であるため、まず質量比を求めてから、それを1回累乗すればよい。
  
  $\frac{τ _{NS}}{τ _{BH}} = (\frac{M _{BH}}{M _{NS}})^{5/3} = (\frac{28.10}{1.219})^{5/3} = 23.0 5^{5/3} = 187$
3. 前問で得られた 0.843 s にこれを適用する。積分も定数も不要で、指数以外の公式も必要ない。
  
  $τ = 0.843 \times 187 = 157 s = 2.6 min$
4. ISCO周波数は全質量に反比例するため、ずっと小さな指数を用いて同じ手法を使えば、最終的な音高が得られる。
  
  $f_{ISCO} \propto \frac{1}{M _{tot}} : 67.6 \times \frac{65}{2.8} = 1570 Hz$
5. ひずみは2つの依存性を同時に持つ。すなわちチャープ質量の 5/3 乗に応じて増加し、距離に応じて減少する。今回の連星はより軽くてより近いため、これらの効果は部分的に相殺される。
  
  $h \propto \frac{M ^{5/3}}{d _{L}} : 1.16 \times 1 0^{- 21} \times (\frac{1.219}{28.10})^{5/3} \times \frac{440}{100} = 2.2 \times 1 0^{- 22}$
解答

違いのすべては1つの冪乗法則、187によるものである。チャープ質量は 28.10 から 1.22 に低下し、インスパイラル時間は ℳ^−5/3 に比例するため、質量を 23 で割ると時間は 23^5/3 = 187 倍になる。これにより 0.84 秒が 157 秒に伸びる。これこそが、中性子星の合体がまだ進行している間にLIGOが予告できる理由である。2.6 分あれば望遠鏡を向けるには十分であり、GW170817 でキロノバが観測されたのもこのためである。反対側の極限では同じ作用が逆効果となる。f_ISCO は 1/M に比例するため、合体は 1570 Hz で終了するが、これは検出器の感度が最も高い帯域を大幅に上回っている。軽めの連星は近づいてくる音は聞き取りやすいが、到着した瞬間を聞き取るのは困難である。

$M = 1.22 M_{⊙} ⟹ τ \times 187, f_{ISCO} \times 23, h \div 5$

参考文献 (3)

The detection the first block describes, and its measured strain: B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Physical Review Letters 116(6), 061102, 2016.
The neutron-star merger behind the gw170817 preset: B. P. Abbott et al., "GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral." Physical Review Letters 119(16), 161101, 2017.
The chirp-mass and peak-strain expressions the tool evaluates: M. Maggiore, Gravitational Waves, Volume 1: Theory and Experiments, §4.1. Oxford University Press, 2008. ISBN 978-0-19-857074-5.

42Math チーム · 更新 2026-07-05

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例題

GW150914 - GW150914:初検出、チャープ質量 ~28.1 Msun
GW170817 - 1.17太陽質量と1.36太陽質量の中性子星。この連星のチャープ質量は、両者を下回る1.10となります。波形に刻まれているのはこの一つの値であり、これにより20 Hzから3.1分間にわたって信号が帯域内に留まります。開始周波数を10 Hz上げるだけで、この時間は1.1分に落ち込みます。信号の三分の二は帯域の最下層に存在しているのです。そしてそこは、検出器の構築が最も困難な領域でもあります。
NS-NS合体 - 教科書に載っているような、1.4太陽質量の中性子星のペア。チャープ質量は1.22であり、20 Hzから合体までは2.6分となります。これはGW170817の継続時間よりも短くなっています。連星としてはあちらの方が軽いにもかかわらず、です。質量がインスパイラルを推し進めるため、重い連星ほど耳を傾けられる時間は短くなります。下にある1570.1 Hzという数値はISCO周波数です。ここで安定した円軌道は存在できなくなり、二つの星は互いに落下していきます。
BH-BH合体 - 160太陽質量のブラックホール。ここではISCO周波数が27.5 Hzまで低下します。図の開始点である20 Hzをかろうじて上回る程度です。帯域内で現象が続くのは全体でわずか185.7 ms。口ずさめるような、周波数が上がっていくチャープ音はありません。ただ一度の鈍い響きです。それでも四つのプリセットの中では最も強い1.28 × 10⁻²¹という振幅を持ちます。距離は1,000 Mpc。GW170817の実に二十倍以上彼方からの信号です。