本稿は機械翻訳であり、原文は英語です。 原文を読む
なぜどのピアノも調律が合っていないのか
完全五度を12回重ねると、7オクターブより23.46セント高い音に到達する。どのような調律師もその隔たりを埋めたことはなく、今後も埋めることはできない。
バス譜表の下にあるA音（55 Hz）から始める。毎回3/2を掛けながら完全五度を12回上がると、7136.05 Hzに到達する。同じ55 Hzから始めて、毎回2倍にしながら7オクターブ上がると、7040 Hzに到達する。
鍵盤の上では、これら2つの道のりは同じ鍵盤に行き着く。しかし計算の上では、両者は96.05 Hz離れている。
完全五度は約束事ではない
完全五度が、人間が自由に再定義できる恣意的な選択であれば都合がよかったかもしれないが、実際はそうではない。Standing Waves ツールを開き、弦の長さをデフォルトのままにする。倍音（ハーモニクス）の次数を2に設定すると343.0 Hzを示し、3に設定すると514.5 Hzを示す。その比率は正確に1.5である。
これらは、響きがよくなるよう意図的に選ばれた2つの音ではない。同じ弦が、物理的に振動し得る状態のうち2つの形で振動している姿である。弦を弾くとこれらの振動がすべて同時に生じるため、五度は協和して聞こえる。2つの音は、すでにその倍音の大部分を共有しているからである。3:2という比率は弦の物理的振る舞いそのものであり、文化が取り決めたものではない。
オクターブも全く同じであり、基音に対する倍音の比率は2:1である。
なぜこの隔たりを解消できないのか
このように、物理法則によって与えられた2つの音程が存在し、一方を整数回重ねたものが他方を整数回重ねたものと等しくなることを望むことになる。すなわち、(3/2)m = 2n が成り立つことを望んでいるのである。
両辺を展開して整理すると、3m = 2n+m という式が得られる。左辺は3の累乗であり、右辺は2の累乗である。すべての整数は素因数分解の分解形がただ一通りであるため、これが成り立つのは両辺が1の場合に限られる。どのような m も、n も、どれほど巧妙な工夫も存在し得ない。
この点を正確に把握しておく価値はある。なぜなら、この問題を「楽器の不完全さ」として片付けてしまいやすいからである。これは弦や耳、あるいは製造技術の限界ではない。整数2と整数3に関する命題であり、どの宇宙においても変わらず成り立つものである。
12回の完全五度と7オクターブの関係は、最も惜しい一致を見せる近似にすぎず、そのズレの大きさは 129.746338 / 128 = 1.013643 である。音楽家が音程を表す方法で表現すると、これは23.46セントとなり、固有名詞を持っている。すなわちピタゴラスコンマである。
セントは対数である
1セントは平均律の半音の100分の1であり、その換算式は 1200 × log₂(比) である。この対数が実質的な役割を果たしている。音程は乗算されるが、人間の耳には加算されているかのように認識される。五度を2つ重ねた場合、周波数比は3ではなく2.25になるが、実感としては1つの五度の2倍のように聞こえる。対数を取ることで乗算が加算に変換されるため、ピアノの鍵盤を均等な間隔で配置することが可能になるのである。
Logarithm Explorer は、音楽的要素を取り除いて同じ操作を行うツールである。周波数としては大きく異なって見える比率も、対数を取ることで近接して位置するようになる。7オクターブに及ぶ音階の中に23.46セントの誤差を潜ませることができるのは、まさにこの圧縮効果のおかげである。
妥協点
平均律は、この歪みを均等に分配する。半音を 21/12 = 1.059463 と定義すれば、構造上、それを12回重ねることでオクターブが完全に閉じる。その代わり、他のすべての音程がわずかな誤差を継承することになる。
五度は、本来の701.955セントに対して正確に700セントとなるため、1.96セント低くなる。これはほぼすべての人にとって聞き取れないレベルである。
問題となるのは長三度である。自然な比率である5/4は386.31セントであるのに対し、平均律では400セントが割り当てられる。13.7セント高いという差は決して小さなものではなく、平均律の長三和音がかすかな落ち着きのなさを帯びる理由となっている。その場で各和音を自由に調律できるバーバーショップ・クァルテットの演奏には、そうした落ち着きのなさは存在しない。
それ以前の音律は、これとは異なる妥協を行っていた。中全音律（ミーントーン）は、一部の五度を大幅に悪化させることで、頻繁に使われる調において美しい三度を獲得した。だがこれは、楽曲がその音律によって犠牲にされた調を必要とするまでの間しか機能しなかった。平均律が実際にもたらしたものは正確さではなくポータビリティである。すべての調が均等にわずかにずれているからこそ、楽曲はどのような調へも自由に進むことができるのである。
ピアノの調律が合っていると言うとき、実際に意味されているのは、あらかじめ合意されたやり方で調律が狂っているということなのである。