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Por qué ningún piano está afinado
Al apilar doce quintas justas se llega 23,46 cents por encima de siete octavas. Ningún afinador ha cerrado nunca esa diferencia, y ninguno lo conseguirá jamás.
Comienza en el La por debajo del pentagrama en clave de fa, a 55 Hz. Sube una quinta justa doce veces, multiplicando por 3/2 cada vez, y llegarás a 7136,05 Hz. Comienza en esos mismos 55 Hz y sube siete octavas, duplicando cada vez, y llegarás a 7040 Hz.
En un teclado, esos dos recorridos terminan en la misma tecla. En aritmética, terminan a 96,05 Hz de distancia.
La quinta no es una convención
Sería cómodo que la quinta justa fuera una elección arbitraria que pudiéramos simplemente redefinir. No lo es. Abre la herramienta Standing Waves y deja la cuerda en su metro por defecto. Ajusta el armónico a 2 y marcará 343,0 Hz. Ajustalo a 3 y marcará 514,5 Hz. La razón es exactamente 1,5.
No son dos notas elegidas para sonar bien juntas. Son la misma cuerda vibrando de dos de las formas en que físicamente puede hacerlo. Una cuerda pulsada las produce todas a la vez, razón por la cual una quinta suena consonante: las dos notas ya comparten la mayor parte de sus armónicos. La razón 3:2 es lo que hace una cuerda, no lo que decidió una cultura.
Con la octava ocurre lo mismo para la razón 2:1, un armónico frente a la fundamental.
Por qué no se puede cerrar la diferencia
Así pues, tenemos dos intervalos que nos ofrece la física y nos gustaría que un número entero de uno fuera igual a un número entero del otro. Queremos (3/2)m = 2n.
Al despejar, eso exige 3m = 2n+m. Una potencia de tres a la izquierda, una potencia de dos a la derecha. Todo número entero se descompone en factores primos de una sola manera, por lo que esto solo es cierto cuando ambos lados valen 1. No hay ningún m, ningún n, ni ningún truco posible.
Conviene ser precisos al respecto, porque es fácil clasificar este problema como "los instrumentos son imperfectos". No se trata de una limitación de las cuerdas, de los oídos o de la fabricación. Es una afirmación sobre los números enteros 2 y 3, y se mantendría en cualquier universo.
Doce quintas frente a siete octavas es simplemente la aproximación más cercana, y el tamaño de la diferencia es 129,746338 / 128 = 1,013643. Expresado de la forma en que los músicos expresan los intervalos, eso equivale a 23,46 cents, y tiene un nombre: la coma pitagórica.
Los cents son logaritmos
Un cent es una centésima de un semitono del temperamento igual, y la conversión es 1200 × log₂(ratio). Ese logaritmo realiza un trabajo real. Los intervalos se multiplican, pero los escuchamos como si se sumaran: dos quintas superpuestas se perciben como el doble de una quinta, aunque la razón de frecuencia sea 2,25 en lugar de 3. Tomar el logaritmo transforma la multiplicación en una suma, que es lo que permite que un teclado de piano disponga de teclas con un espaciado uniforme.
El Logarithm Explorer es esta misma operación prescindiendo de la música. Las razones que parecen enormemente distintas en frecuencia se sitúan muy próximas una vez que se calcula el logaritmo, que es exactamente la compresión que permite que un error de 23,46 cents quede oculto dentro de una escala que abarca siete octavas.
El acuerdo
El temperamento igual reparte el daño de manera uniforme. Al definir el semitono como 21/12 = 1,059463, doce de ellos cierran la octava a la perfección, por construcción. Cualquier otro intervalo hereda entonces un pequeño error.
La quinta resulta tener exactamente 700 cents frente a los 701,955 reales, de modo que es 1,96 cents más baja. Esto resulta inaudible para casi cualquiera.
La tercera mayor es la que resulta perjudicial. La razón natural 5/4 equivale a 386,31 cents. El temperamento igual le asigna 400. Trece coma siete cents por arriba no es algo sutil, y es la razón por la que un acorde mayor en temperamento igual presenta una leve inquietud que un cuarteto de barbería, libre de afinar cada acorde a medida que se presenta, no tiene.
Las afinaciones anteriores llegaron a un trato diferente. El temperamento mesotónico consiguió terceras hermosas en las tonalidades más habituales empeorando mucho algunas quintas, lo cual funcionaba hasta que una pieza requería una tonalidad que esa afinación había sacrificado. Lo que el temperamento igual proporcionó realmente no fue precisión, sino portabilidad: cada tonalidad está levemente equivocada por igual, por lo que una obra puede ir a cualquier parte.
Cuando oyes que un piano está afinado, lo que se quiere decir es que está desafinado de la forma convenida.