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Por que razão nenhum piano está afinado
Empilhe doze quintas justas e ficará 23,46 cents acima de sete oitavas. Nenhum afinador jamais eliminou essa diferença, e nenhum o fará.
Comece no Lá abaixo da pauta da clave de Fá, 55 Hz. Suba uma quinta justa doze vezes, multiplicando por 3/2 de cada vez, e chegará a 7136,05 Hz. Comece nos mesmos 55 Hz e suba sete oitavas, duplicando de cada vez, e chegará a 7040 Hz.
Num teclado, essas duas viagens terminam na mesma tecla. Em aritmética, terminam com 96,05 Hz de diferença.
A quinta não é uma convenção
Seria conveniente se a quinta justa fosse uma escolha arbitrária que pudéssemos simplesmente redefinir. Não é. Abra a ferramenta Standing Waves e deixe a corda no seu valor por omissão em metros. Defina o harmónico para 2 e indicará 343,0 Hz. Defina-o para 3 e indicará 514,5 Hz. A razão é exatamente 1,5.
Não se trata de duas notas escolhidas para soarem bem juntas. São a mesma corda a vibrar de duas das formas como é fisicamente capaz de vibrar. Uma corda beliscada produz todas elas ao mesmo tempo, razão pela qual uma quinta soa consonante: as duas notas já partilham a maioria dos seus harmónicos. A razão 3:2 é o que uma corda faz, não o que uma cultura decidiu.
Com a oitava passa-se o mesmo, com a razão 2:1, um harmónico contra a fundamental.
Por que razão a diferença não pode ser eliminada
Assim, temos dois intervalos que a física nos oferece e gostaríamos que um número inteiro de um fosse igual a um número inteiro do outro. Queremos (3/2)m = 2n.
Desenvolvendo a equação, tal exige 3m = 2n+m. Uma potência de três à esquerda, uma potência de dois à direita. Cada número inteiro fatora-se em primos de uma única forma, pelo que isto só é verdade quando ambos os lados são 1. Não existe nenhum m, nenhum n, nenhuma astúcia.
Vale a pena ser preciso quanto a isto, porque é fácil arrumar o problema na categoria "os instrumentos são imperfeitos". Não é uma limitação das cordas, dos ouvidos ou do fabrico. É uma afirmação sobre os números inteiros 2 e 3, e manter-se-ia em qualquer universo.
Doze quintas contra sete oitavas é simplesmente a aproximação que fica mais perto, e a dimensão do desvio é 129,746338 / 128 = 1,013643. Expressa da forma como os músicos expressam intervalos, essa diferença é de 23,46 cents, e tem um nome: a coma pitagórica.
Os cents são logaritmos
Um cent é uma centésima parte de um semitom no temperamento igual, e a conversão é 1200 × log₂(razão). Esse logaritmo desempenha um papel fundamental. Os intervalos multiplicam-se, mas ouvimo-los como se se somassem: duas quintas sobrepostas parecem o dobro de uma quinta, embora a razão de frequência seja 2,25 e não 3. Aplicar o logaritmo transforma a multiplicação numa soma, e é precisamente por isso que um teclado de piano pode ser disposto com teclas igualmente espaçadas.
O Logarithm Explorer é a mesma operação, mas sem a música. Razões que parecem enormemente diferentes em frequência ficam muito próximas uma vez aplicado o logaritmo, o que é exatamente a compressão que permite que um erro de 23,46 cents se esconda no interior de uma escala que abrange sete oitavas.
O compromisso
O temperamento igual distribui os danos uniformemente. Defina-se o semitom como 21/12 = 1,059463 e doze deles fecham a oitava na perfeição, por construção. Todos os outros intervalos herdam então um pequeno erro.
A quinta resulta em exatamente 700 cents em comparação com os 701,955 reais, ficando assim 1,96 cents abaixo. Isso é inaudível para quase toda a gente.
A terça maior é a que mais sofre. A razão natural 5/4 corresponde a 386,31 cents. O temperamento igual atribui-lhe 400. Treze vírgula sete cents acima não é algo subtil, e é por isso que um acorde maior em temperamento igual tem uma ligeira inquietação que um quarteto de barbershop, livre para afinar cada acorde à medida que surge, não possui.
As afinações anteriores fizeram um compromisso diferente. O temperamento mesotónico obteve terças belíssimas nas tonalidades mais comuns à custa de piorar significativamente algumas quintas, o que funcionava até uma peça precisar de uma tonalidade que a afinação tinha sacrificado. O que o temperamento igual realmente proporcionou não foi a precisão, mas sim a portabilidade: cada tonalidade está ligeiramente errada na mesma medida, pelo que uma peça pode transitar para qualquer lado.
Quando se ouve dizer que um piano está afinado, o que se quer dizer é que ele está desafinado da forma acordada.