Explorador de Logaritmos

Observe como mudar a base transforma a curva, compare-a em tempo real com ln(x) e log₁₀(x), e veja por que os logaritmos transformam multiplicação em soma.

Valores iniciais — Explorador de Logaritmos

ln(x) — logaritmo natural	on
log₁₀(x) — logaritmo comum	on
Valor de x	2

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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Lição

A teoria — Explorador de Logaritmos

Um logaritmo é um expoente. log_b(x) é a potência à qual se deve elevar b para obter x. Isto significa que log_b(x) = y e b^y = x são a mesma afirmação, apenas lida em duas direções diferentes.

O que significa cada símbolo

b: a base: o número que é elevado a uma potência. Pode ser qualquer valor positivo, exceto 1. Elevar 1 a qualquer potência resulta sempre em 1, logo, nunca alcançaria um x diferente.
x: o argumento: o valor que se pretende atingir. Tem de ser positivo. Nenhuma potência real de uma base positiva resulta em zero ou num valor negativo.
y: a resposta, que é o próprio expoente. Este valor não tem restrições. É exatamente 0 quando x é 1, seja qual for a base. Para uma base superior a 1, a resposta é negativa quando x é inferior a 1 e assume qualquer valor positivo quando o supera. Se a base for inferior a 1, as duas metades invertem-se. Corresponde ao caso da base fracionária.

De onde vem a fórmula

Parta da definição. Se log_b(x) = y, então b^y = x.
Aplique o logaritmo natural a ambos os lados da equação. Na matemática, o que se faz de um lado, faz-se do outro: ln(b^y) = ln(x).
A regra da potência passa o expoente para a frente, ln(b^y) = y·ln(b). Ficamos com y·ln(b) = ln(x).
Divida por ln(b): y = ln(x) / ln(b). Esta é a regra da mudança de base. É também a linha apresentada no painel acima. Na base 2, com x = 2, lê-se 0.69 / 0.69 = 1.

Como ler o que vê

Estão traçadas três curvas. Verá a sua curva, correspondente à base escolhida, e as funções ln(x) e log₁₀(x) como referências fixas de comparação. Todas passam pelo pequeno ponto em (1, 0), pois qualquer base elevada à potência 0 resulta em 1. O ponto maior encontra-se onde o argumento é igual à base, ou seja, em (b, 1). Este ponto desliza ao longo da curva à medida que arrasta a base. Se passar o cursor sobre o gráfico, obterá o valor dos três logaritmos para esse exato x.

Pressupõe: b > 0, b ≠ 1 e x > 0. Estas não são meras convenções burocráticas. São, de facto, as condições exatas para que a pergunta «b elevado a que potência resulta em x?» tenha uma única resposta real.
Falha quando: A base 1 é um caso de falha muito interessante. O passo 4 explica a razão. Como a dedução divide por ln(b) e ln(1) = 0, o valor final é indefinido em vez de ser apenas excessivamente grande. Não é possível fixar a base neste ponto. Se digitar 1, a página substitui o valor por 0.99. Aí, a linha de mudança de base divide por um valor próximo de −0,01 e a resposta salta para −68.97 para o mesmo x = 2. Abaixo de 1, o divisor mantém-se negativo e a curva inteira inverte-se. Continua a ser um logaritmo, mas de natureza decrescente.

por que os logaritmos estão em toda parte 🖖

Os logaritmos transformam multiplicação em soma — esse é todo o truque, e é por isso que aparecem em qualquer lugar onde seres humanos precisam comprimir faixas enormes de valores em algo legível. A escala de pH é -log₁₀[H⁺]: cada passo inteiro representa uma mudança de 10× na acidez. Decibéis equivalem a 10·log₁₀(razão de potência): uma sala silenciosa e um motor a jato diferem em potência bruta por cerca de um trilhão de vezes, mas apenas por cerca de 120 dB. A escala Richter (ou de magnitude de momento) funciona da mesma forma — um terremoto de magnitude 7 libera cerca de 32 vezes mais energia do que um de magnitude 6, não 7/6 vezes mais. Antes das calculadoras, engenheiros carregavam réguas de cálculo que transformavam esse truque da soma em uma régua física: deslizar duas escalas marcadas logaritmicamente permitia multiplicar dois números apenas somando comprimentos. E na teoria da informação, o número de bits necessários para representar algo é literalmente log₂ do número de possibilidades — cada vez que as opções dobram, custa exatamente mais um bit.

toda base é a mesma curva 🖖

Mova a base e os gráficos parecem mudar de forma — mas não mudam. A mudança de base dá log_b(x) = ln(x) / ln(b), então cada curva é apenas ln(x) multiplicada por um número fixo. O controle deslizante apenas estica verticalmente uma única curva universal. Baixe a base para menos de 1 e esse fator fica negativo, virando a curva de cabeça para baixo; ajuste-a exatamente em 1 e tudo desmorona, pois ln(1) = 0 significa dividir por zero.

LOGARITMOS — EM QUE BASE VOCÊ ESTÁ E COMO PASSAR DE UMA PARA OUTRA

Em que caso de logaritmo você está?

Um logaritmo faz uma única pergunta — que potência de b dá x? — mas a base decide para que serve a resposta. A base e aparece sempre que algo cresce a uma taxa proporcional a si mesmo; a base 10 conta ordens de grandeza; uma base menor que 1 vira a curva de cabeça para baixo; e qualquer base se converte em qualquer outra com uma divisão. O último caso surpreende: quando a base se aproxima de 1, o logaritmo dispara.

Logaritmo natural — base e, o que o cálculo prefere ln x = log_e x

Logaritmo comum — base 10, contando ordens de grandeza log₁₀ x

Base menor que 1 — a curva se inverte 0 < b < 1

Mudança de base — todo logaritmo é qualquer outro, reescalado log_b x = ln x / ln b

Base logo acima de 1 — o logaritmo explode b → 1 ⇒ ln b → 0

Logaritmo natural — base e, o que o cálculo prefere

O que você sabe: A base é e ≈ 2,718. Escrito ln x, é o logaritmo que aparece sempre que uma taxa de variação é proporcional à quantidade atual.

Base: ln x = log_e x

Exemplo resolvido: ln 2 = 0,693, porque e^0,693 = 2 — e esse 0,693 é o motivo de "tempo de duplicação = ln 2 / taxa de crescimento"

Abrir este caso: logaritmo natural

Logaritmo natural — base e, o que o cálculo prefere. O logaritmo natural: inclinação exatamente 1/x e a área sob a curva do recíproco. A base é e ≈ 2,718. Escrito ln x, é o logaritmo que aparece sempre que uma taxa de variação é proporcional à quantidade atual. — O logaritmo natural: inclinação exatamente 1/x e a área sob a curva do recíproco.

Logaritmo comum — base 10, contando ordens de grandeza

O que você sabe: A base é 10. Cada passo de 1 no resultado significa que a entrada foi multiplicada por dez.

Base: log₁₀ x

Exemplo resolvido: log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3 — multiplicar x por dez soma exatamente 1

Abrir este caso: logaritmo comum

Logaritmo comum — base 10, contando ordens de grandeza. Cada aumento de dez vezes em x percorre a mesma distância na curva. A base é 10. Cada passo de 1 no resultado significa que a entrada foi multiplicada por dez. — Cada aumento de dez vezes em x percorre a mesma distância na curva.

Base menor que 1 — a curva se inverte

O que você sabe: 0 < b < 1. Elevar uma fração a potências maiores a torna menor, então o logaritmo decresce em vez de crescer e fica negativo para x > 1.

Base: 0 < b < 1

Exemplo resolvido: log₀,₅ 4 = −2, porque 0,5⁻² = 4 — o mesmo tamanho de log₂ 4 = 2, com o sinal trocado

Abrir este caso: base < 1

Base menor que 1 — a curva se inverte. Com base abaixo de 1 a curva desce: x maior dá um logaritmo mais negativo. 0 < b < 1. Elevar uma fração a potências maiores a torna menor, então o logaritmo decresce em vez de crescer e fica negativo para x > 1. — Com base abaixo de 1 a curva desce: x maior dá um logaritmo mais negativo.

Mudança de base — todo logaritmo é qualquer outro, reescalado

O que você sabe: Você precisa de uma base que sua calculadora não tem. Divida dois logaritmos numa base que ela tenha: log x na base b = ln x / ln b.

Base: log_b x = ln x / ln b

Exemplo resolvido: log₄ 16 = ln 16 / ln 4 = 2,7726 / 1,3863 = 2, e a mesma divisão funciona com log₁₀ no lugar de ln

Abrir este caso: mudança de base

Mudança de base — todo logaritmo é qualquer outro, reescalado. Uma curva, reescalada: dividir por ln b converte qualquer base em qualquer outra. Você precisa de uma base que sua calculadora não tem. Divida dois logaritmos numa base que ela tenha: log x na base b = ln x / ln b. — Uma curva, reescalada: dividir por ln b converte qualquer base em qualquer outra.

Base logo acima de 1 — o logaritmo explode

O que você sabe: b está perto de 1, então ln b está perto de zero. Como log x na base b = ln x / ln b, dividir por esse número minúsculo torna a saída enorme.

Base: b → 1 ⇒ ln b → 0

Exemplo resolvido: log₁,₀₅ 50 = ln 50 / ln 1,05 = 3,912 / 0,04879 = 80,2 — são precisos 80 passos de 5 % de crescimento para multiplicar por 50

Abrir este caso: próximo de b = 1

$Base logo acima de 1 — o logaritmo explode. Conforme a base se aproxima de 1 a curva fica cada vez mais íngreme; em 1 exato ela não existe. b está perto de 1, então ln b está perto de zero. Como log x na base b = ln x / ln b, dividir por esse número minúsculo torna a saída enorme.$

Conforme a base se aproxima de 1 a curva fica cada vez mais íngreme; em 1 exato ela não existe.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Defina a base como 0.5 e mantenha o x em 2. Antes de observar o gráfico, tente adivinhar. A resposta será positiva ou negativa? Qual será, aproximadamente, a sua ordem de grandeza?

Mostrar a resposta

Negativa e pequena. É exatamente log₀.₅(2) = −1. A mudança de base transforma a expressão em ln(2)/ln(0.5). Como ln(0.5) tem valor negativo, toda a curva se inverte. O resultado é rigorosamente −1 porque 0,5 elevado à potência −1 é 2. Na prática, equivale a reduzir a metade uma única vez, mas no sentido inverso.
O ponto maior encontra-se sempre em (b, 1). Arraste a base de 2 até 9 e tente prever o comportamento do ponto. Consegue explicar por que razão a resposta se mantém igual a 1 durante todo o trajeto?

Mostrar a resposta

O ponto desliza para a direita ao longo da curva, mantendo-se sempre na altura 1. Tem-se log_b(b) = 1 para todas as bases. Afinal, a resposta à pergunta «que potência de b resulta em b?» é sempre 1. O ponto move-se horizontalmente porque a sua coordenada x é precisamente a base que está a arrastar.
Digite 1 na base. Antes de pressionar qualquer tecla, tente antecipar o que vai acontecer. A curva ficará vertical, horizontal ou assumirá outra forma diferente?

Mostrar a resposta

Nenhuma das hipóteses. A página recusa o valor e substitui-o por 0.99. O passo 4 da dedução matemática divide por ln(b) e sabemos que ln(1) = 0. Assim, a base 1 gera um valor indefinido e não uma curva acentuada. Em 0,99, a linha de mudança de base divide por um valor próximo de −0,01. O resultado apresentado é −68.97. Trata-se de um número negativo enorme, o que ilustra de forma clara o que significa «aproximar-se de um valor indefinido a partir de um dos lados».

Problema resolvido na íntegra

O motivo para 2¹⁰ = 1024 e 10³ = 1000 serem próximos 5 passos
2¹⁰ = 1024 e 10³ = 1000, e estão próximos por uma razão que este painel já está a mostrar. Encontre a razão e, em seguida, determine a rapidez com que a coincidência se degrada.
1. A mudança de base transforma qualquer logaritmo na razão entre dois outros. A ferramenta mostra ln(2) = 0,693147 e log₁₀(2) = 0,30103, e log₂(10) é o inverso do segundo: 3,32193.
  
  $lo g_{2} 10 = \frac{ln 10}{ln 2} = \frac{2.302585}{0.693147} = 3.32193 = \frac{1}{0.30103}$
2. Assim, dez duplicações, expressas em potências de dez, correspondem a 10 × 0,30103.
  
  $2^{10} = 1 0^{10 l o g_{10} 2} = 1 0^{3.0103}$
3. O expoente é 3,0103 em vez de 3. Esse 0,0103 é toda a discrepância e, elevado como potência de dez, resulta em 1,024.
  
  $1 0^{3.0103} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.0103} = 1000 \times 1.024 = 1024$
4. A diferença acumula-se, porque o excesso multiplica-se em vez de se somar. Um kibibyte é 2,4% acima de um milhar, um mebibyte 4,9% acima de um milhão e um gibibyte 7,4% acima de mil milhões.
  
  $\frac{2 ^{20}}{1 0 ^{6}} = 1.048576, \frac{2 ^{30}}{1 0 ^{9}} = 1.073741824$
5. Esse mesmo 0,30103 é a razão pela qual uma duplicação de potência é chamada de 3 dB. O valor exato é 3,0103 dB, e o número redondo é uma conveniência com um erro de uma parte em trezentos.
  
  $10 lo g_{10} 2 = 3.0103 dB$
Resposta

A ferramenta apresenta ln(2) = 0,693147 e log₁₀(2) = 0,30103. Vale a pena memorizar o segundo diretamente, porque converte entre as duas bases que toda a gente realmente utiliza: bits e dígitos decimais. Um número precisa de cerca de 3,32 bits por dígito decimal, uma chave de 2048 bits tem cerca de 617 dígitos decimais e qualquer processo de duplicação cruza um fator de mil a cada dez passos. Os passos 4 e 5 são o aviso associado: 2¹⁰ ≈ 10³ é uma aproximação que piora a cada vez que é aplicada, razão pela qual os fabricantes de discos e os sistemas operativos discordam sobre o tamanho de um terabyte há trinta anos — em 10%, e a crescer.

$lo g_{10} 2 = 0.30103 : ten doublings are three decades, and 2.4%$

Percurso de aprendizagem

Ordens de grandeza

Conduz a Escala do universo o facto de um logaritmo ser um expoente, assim como a mudança de base.

Referências (5)

pH as −log₁₀[H⁺]: R. P. Buck et al., "Measurement of pH. Definition, standards, and procedures (IUPAC Recommendations 2002)." Pure and Applied Chemistry 74(11), 2169–2200, 2002.
The decibel as 10·log₁₀ of a power ratio: L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens & J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics, 4th ed. Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-84789-2.
Why one magnitude step is about 32× the energy — the scale is defined so that energy goes as 10^1.5 per unit: T. C. Hanks & H. Kanamori, "A moment magnitude scale." Journal of Geophysical Research: Solid Earth 84(B5), 2348–2350, 1979.
The slide rule, and the seventeenth-century instruments it came from: Florian Cajori, On the History of Gunter’s Scale and the Slide Rule during the Seventeenth Century. University of California Press, Berkeley, 1920.
Bits as log₂ of the number of possibilities: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27(3), 379–423, 1948.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

logaritmo natural - Caso do logaritmo natural: ln(2) ≈ 0.693.
logaritmo comum - Caso do logaritmo comum: log10(100) = 2.
base < 1 - Base menor que 1 inverte a curva: log0.5(4) = -2.
mudança de base - Verificação da mudança de base: log4(16) = 2.
próximo de b = 1 - Base logo acima de 1: a curva cai quase na vertical, pois dividir por ln(1.05) ≈ 0.049 faz o resultado explodir.