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Pourquoi aucun piano n'est juste
Empilez douze quintes justes et vous arrivez 23,46 cents au-dessus de sept octaves. Aucun accordeur n'a jamais comblé cet écart, et aucun n'y parviendra jamais.
Partez du la situé sous la portée en clé de Fa, à 55 Hz. Montez douze fois d'une quinte juste, en multipliant par 3/2 à chaque fois, et vous arrivez à 7136,05 Hz. Partez du même 55 Hz et montez de sept octaves, en doublant à chaque fois, et vous arrivez à 7040 Hz.
Sur un clavier, ces deux parcours s'achèvent sur la même touche. En arithmétique, ils se terminent séparés de 96,05 Hz.
La quinte n'est pas une convention
Il serait commode que la quinte juste soit un choix arbitraire que nous pourrions simplement redéfinir. Il n'en est rien. Ouvrez l'outil Standing Waves et laissez la corde à sa longueur par défaut d'un mètre. Réglez l'harmonique sur 2 et il indique 343,0 Hz. Réglez-le sur 3 et il indique 514,5 Hz. Le rapport est exactement de 1,5.
Il ne s'agit pas de deux notes choisies pour résonner agréablement ensemble. C'est la même corde qui vibre selon deux des modes qu'elle est physiquement capable d'adopter. Une corde pincée les produit tous à la fois, ce qui explique pourquoi une quinte sonne de façon consonante : les deux notes partagent déjà la plupart de leurs harmoniques. Le rapport 3:2 est le comportement propre d'une corde, non le choix d'une culture.
L'octave relève de la même logique avec le rapport 2:1, un harmonique face à la fondamentale.
Pourquoi l'écart ne peut pas être comblé
Nous disposons donc de deux intervalles transmis par la physique, et nous aimerions qu'un nombre entier de l'un soit égal à un nombre entier de l'autre. Nous cherchons à obtenir (3/2)m = 2n.
En développant, cela exige que 3m = 2n+m. Une puissance de trois à gauche, une puissance de deux à droite. Tout nombre entier se décompose en facteurs premiers d'une seule et unique façon, si bien que cette égalité n'est vraie que lorsque les deux côtés valent 1. Il n'y a aucun m, aucun n, aucune astuce.
Il convient d'être précis sur ce point, car il est facile de classer le problème en se disant que « les instruments sont imperfects ». Ce n'est pas une limitation des cordes, des oreilles ou de la fabrication. C'est une affirmation concernant les nombres entiers 2 et 3, et elle serait vraie dans n'importe quel univers.
Douze quintes face à sept octaves constituent simplement le rapprochement le plus près d'aboutir, et l'ampleur de cet écart est 129,746338 / 128 = 1,013643. Exprimé de la manière dont les musiciens expriment les intervalles, cela représente 23,46 cents, et porte un nom : le comma pythagoricien.
Les cents sont des logarithmes
Un cent est le centième d'un demi-ton au tempérament égal, et la conversion s'écrit 1200 × log₂(ratio). Ce logarithme accomplit un travail essentiel. Les intervalles se multiplient, mais nous les entendons comme s'ils s'additionnaient : deux quintes superposées donnent l'impression de valoir deux fois une quinte, bien que le rapport de fréquence soit de 2,25 et non de 3. Prendre le logarithme transforme la multiplication en addition, ce qui explique pourquoi un clavier de piano peut être conçu avec des touches régulièrement espacées.
L'outil Logarithm Explorer réalise la même opération une fois la musique retirée. Des rapports aux fréquences en apparence très éloignées se retrouvent proches une fois le logarithme appliqué, ce qui constitue exactement la compression permettant à une erreur de 23,46 cents de se dissimuler dans une gamme s'étendant sur sept octaves.
Le compromis
Le tempérament égal répartit les dommages de manière uniforme. Définissez le demi-ton comme 21/12 = 1,059463 et douze d'entre eux ferment parfaitement l'octave, par construction. Tous les autres intervalles héritent alors d'une légère erreur.
La quinte s'établit à exactement 700 cents par rapport aux 701,955 réels, elle est donc trop basse de 1,96 cent. Cela est inaudible pour la quasi-totalité des gens.
La tierce majeure est celle qui pose problème. Le rapport naturel 5/4 est de 386,31 cents. Le tempérament égal lui en donne 400. Un trop-haut de treize virgule sept cents n'a rien de subtil, et c'est la raison pour laquelle un accord majeur au tempérament égal présente une légère instabilité qu'un quatuor de barbershop, libre d'accorder chaque accord au fur et à mesure, ne possède pas.
Les accordages antérieurs ont fait un choix différent. Le tempérament mésotonique offrait de magnifiques tierces dans les tonalités courantes en dégradant nettement certaines quintes, ce qui fonctionnait jusqu'à ce qu'un morceau nécessite une tonalité que l'accordage avait sacrifiée. Ce que le tempérament égal a réellement apporté n'est pas la justesse mais la portabilité : chaque tonalité est légèrement fausse au même degré, de sorte qu'un morceau peut aller n'importe où.
Quand vous entendez dire qu'un piano est accordé, cela signifie en réalité qu'il est désaccordé de la façon convenue.