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Warum kein Klavier gestimmt ist
Schichtet man zwölf reine Quinten übereinander, landet man 23,46 Cent über sieben Oktaven. Kein Klavierstimmer hat diese Lücke jemals geschlossen, und keinem wird es je gelingen.
Beginnen Sie beim A unter dem Bassschlüssel, 55 Hz. Gehen Sie zwölfmal eine reine Quinte nach oben, wobei Sie jedes Mal mit 3/2 multiplizieren, und Sie gelangen zu 7136,05 Hz. Beginnen Sie bei denselben 55 Hz und gehen Sie sieben Oktaven nach oben, indem Sie jedes Mal verdoppeln, und Sie gelangen zu 7040 Hz.
Auf einer Klaviatur enden diese beiden Wege auf derselben Taste. In der Arithmetik enden sie 96,05 Hz voneinander entfernt.
Die Quinte ist keine Konvention
Es wäre praktisch, wenn die reine Quinte eine willkürliche Wahl wäre, die wir einfach neu definieren könnten. Das ist sie nicht. Öffnen Sie das Werkzeug Standing Waves und belassen Sie die Saite bei ihrer Standardlänge in Metern. Stellen Sie die Harmonische auf 2 ein, und der Wert beträgt 343,0 Hz. Stellen Sie sie auf 3 ein, und der Wert beträgt 514,5 Hz. Das Verhältnis beträgt exakt 1,5.
Das sind nicht zwei Töne, die ausgewählt wurden, weil sie zusammen gut klingen. Es ist dieselbe Saite, die auf zwei Arten schwingt, wie sie es physikalisch kann. Eine gezupfte Saite erzeugt alle diese Schwingungen gleichzeitig, weshalb eine Quinte konsonant klingt: Die beiden Töne teilen sich bereits die meisten ihrer Harmonischen. Das Verhältnis 3:2 ist das, was eine Saite tut, nicht was eine Kultur beschlossen hat.
Bei der Oktave ist es dieselbe Geschichte mit dem Verhältnis 2:1, eine Harmonische gegenüber dem Grundton.
Warum sich die Lücke nicht schließen lässt
Wir haben also zwei Intervalle, die uns die Physik vorgibt, und wir möchten, dass ein ganzzahliges Vielfaches des einen einem ganzzahligen Vielfachen des anderen entspricht. Wir wollen (3/2)m = 2n.
Rechnet man das aus, erfordert dies 3m = 2n+m. Eine Dreierpotenz auf der linken Seite, eine Zweierpotenz auf der rechten Seite. Jede ganze Zahl lässt sich auf genau eine Weise in Primfaktoren zerlegen, daher ist dies nur wahr, wenn beide Seiten 1 sind. Es gibt kein m, kein n, keinen cleveren Kniff.
Darüber lohnt es sich, präzise zu sein, denn man ordnet das Problem leicht unter „Instrumente sind unvollkommen“ ein. Es ist keine Einschränkung von Saiten, Ohren oder der Fertigung. Es ist eine Aussage über die ganzen Zahlen 2 und 3, und sie gälte in jedem Universum.
Zwölf Quinten gegenüber sieben Oktaven ist schlicht der Knapptreffer, der am nächsten kommt, und die Abweichung beträgt 129,746338 / 128 = 1,013643. Ausgedrückt so, wie Musiker Intervalle ausdrücken, sind das 23,46 Cent, und das hat einen Namen: das Pythagoreische Komma.
Cent sind Logarithmen
Ein Cent ist ein Hundertstel eines gleichstufig temperierten Halbtons, und die Umrechnung lautet 1200 × log₂(Verhältnis). Dieser Logarithmus leistet echte Arbeit. Intervalle multiplizieren sich, aber wir hören sie so, als ob sie sich addieren: Zwei geschichtete Quinten fühlen sich an wie das Doppelte einer Quinte, obwohl das Frequenzverhältnis 2,25 und nicht 3 beträgt. Das Bilden des Logarithmus verwandelt das Multiplizieren in ein Addieren, weshalb eine Klaviertastatur überhaupt erst mit gleichmäßig angeordneten Tasten gestaltet werden kann.
Der Logarithm Explorer ist dieselbe Operation, nur ohne die Musik. Verhältnisse, die in der Frequenz drastisch unterschiedlich aussehen, liegen nah beieinander, sobald man den Logarithmus bildet – genau die Kompression, die es einem Fehler von 23,46 Cent erlaubt, sich in einer Skala über sieben Oktaven zu verbergen.
Der Kompromiss
Die gleichstufige Stimmung verteilt den Schaden gleichmäßig. Definiert man den Halbton als 21/12 = 1,059463, schließen zwölf davon die Oktave konstruktionsbedingt perfekt ab. Jedes andere Intervall erbt dann einen kleinen Fehler.
Die Quinte ergibt exakt 700 Cent gegenüber den echten 701,955 Cent, ist also um 1,96 Cent zu tief. Das ist für fast jeden unhörbar.
Die große Terz ist diejenige, die schmerzt. Das natürliche Verhältnis 5/4 entspricht 386,31 Cent. Die gleichstufige Stimmung gibt ihr 400. Dreizehn Komma sieben Cent zu hoch ist keineswegs subtil, und das ist der Grund, warum ein gleichstufig temperierter Dur-Akkord eine leichte Unruhe aufweist, die ein Barbershop-Quartett, das jeden Akkord spontan rein stimmen kann, nicht hat.
Frühere Stimmungen gingen einen anderen Handel ein. Die mitteltönige Stimmung erkaufte sich wunderschöne Terzen in den gebräuchlichen Tonarten, indem sie einige Quinten deutlich verschlechterte – was funktionierte, bis ein Stück eine Tonart benötigte, die die Stimmung geopfert hatte. Was die gleichstufige Stimmung tatsächlich erkaufte, war nicht Genauigkeit, sondern Übertragbarkeit: Jede Tonart ist gleichermaßen leicht falsch, sodass ein Stück in jede beliebige Tonart wechseln kann.
Wenn Sie hören, dass ein Klavier gestimmt ist, ist damit gemeint, dass es auf die vereinbarte Weise verstimmt ist.