蜃気楼：冷たい空気と暖かい空気に曲げられる光

熱い道路、車からを押してみてください。50 °C の道路の上に 30 °C の空気があり、目の高さでの屈折率は路面よりも 1.62×10⁻⁵ 高くなっています。熱い空気は薄く、その中では光はわずかに速く進みます。目から十分に浅い角度で出た視線は、この屈折率の差によって道路に到達する前に上へ曲げ返され、空からの光を捉えます。このように曲げ返される最も急な視線は、水平より 0.3284° 下で道路をかすめます。それより急な視線はアスファルトにぶつかります。人間の目は光が直進すると想定するため、そのかすめる方向を 209.3 m 前方の道路上に位置づけます。そして、それより奥の風景はすべて道路に横たわった空、つまり水のように見えます。砂漠の蜃気楼の写真を解説した Andrew T. Young のページでも、同じことが述べられています。蜃気楼は、視線が臨界角で地面と交わる明確な境界から始まるのです。この条件にはあなた自身の位置は一切関係しないため、縁はあなたと一緒に走ります。再生ボタンを押して、ポールが近づいてくるのを観察してください。ポールの倒立像は縮小し、かすめる光線が実際に曲がり始める 235.3 m よりもポールが近づくと完全に消えてしまいます。しかし、水たまりの縁は常に 209.3 m 前方を保ち続けます。

目から出た二つの光線が、ポールの高さ 1.00 m の点に届きます。ほぼ直進する直接光と、道路の上 35.7 mm まで下がって再び上がってくる蜃気楼の光です。どちらもフェルマーの原理によって許容される経路、つまり少しずらしても到達時間に一次の変化が生じない経路です。しかし蜃気楼の光は経路が 4.80 mm 長く、より速く進める空気中を通る区間があるにもかかわらず、12.57 ps 遅れて到着します。結果の表はさらに踏み込んでいます。蜃気楼の光の両端を固定したまま中間点で上下に 1.2 cm たわませると、その光路長はどちらに動かしてもそれぞれ 5.17 µm と 5.53 µm だけ短くなります。一方で、二つのこぶができるようなたわみを持たせると光路長は長くなります。つまり、この経路は最小点ではなく鞍点にあるのです。直接光はどちらにたわませても長くなります。倒立像は、最小ではない停留経路を通る光によって運ばれるわけです。これと同じことは、最小作用のページで示されているように、運動する物体の作用にも起こります。

通常、空気が上空へ向かって薄くなるのは主に気圧が下がるためであり、水平な光線は地球の曲率の約5分の1の割合で下方に曲がります。凍った海、通常の空気のプリセットではこれが 0.219 となるため、高さ 14 m から見た水平線は直進する場合の 13.36 km ではなく 15.11 km 先になります。上空へ行くほど空気を温かくすると、光はさらに強く曲がります。−20 °C の空気中では、1 m につき 0.0921 K の割合で空気を温めると、水平な光線は地球とまったく同じように曲がります。このページでは 0 °C で 0.1129、15 °C で 0.1295 が必要となり、これは Young が Alfred Wegener から引用した 1 m あたり 0.114 °C という値とも合致しています。凍った海、上空の暖かい空気を押してみてください。1 m につき 0.15 K の割合で温めると、光線は地球の 1.435 倍の急さで曲がります。そして先ほどまでは水平線の下に隠れていた 50 km 先の 30 m の崖が、水平より数分角だけ上に正立して見えるようになります。ノヴァヤゼムリャ島で越冬したバレンツの乗組員は、本来の日付より二週間も早い1597年1月24日に太陽を目撃しました。van der Werf らの再現によると、そのとき太陽の中心はまだ水平線より 5° 26′ 下にあったのです。