スネルの法則屈折シミュレーター

角度スライダーを動かして、光が2つの媒質の境界を通過するときにどう曲がるかを見てみよう。

計算例 — スネルの法則屈折シミュレーター

屈折角 (θ₂)	22.08°
反射率 (R)	2.11%
入射角 θ₁	30°

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

位相速度の不整合と屈折境界 🖖

スネルの法則 n₁ sin(θ₁) = n₂ sin(θ₂) は、異なる屈折率の媒質境界を波が横切る際の進行方向の変化を表します。この屈折は、媒質中の光の位相速度の違い（v = c/n）によって生じます。光が密な媒質から疎な媒質へ進む際、法線から遠ざかる方向に屈折し、臨界角を超えると全反射が発生します。

なぜストローは水中で曲がって見えるのか 🖖

光がある物質から別の物質へ進むとき—たとえば水から空気へ—その速さが変わり、この変化によって光は境界面で折れ曲がります。スネルの法則 n₁ sin(θ₁) = n₂ sin(θ₂) は、これを新しい角度の正確な予測に変えます。二つの屈折率の差が大きいほど、曲がり方は急になります。だからこそコップの水に挿したストローは水面で折れて見えるのです。下半分から来た光が、折れ曲がった経路をたどって目に届くからです。

光は最短ではなく最速の経路を通る 🖖

フェルマーの原理は、光が二点間を最小時間の経路で進むと述べており、スネルの法則はここから直接導かれます。光は密な媒質ほど遅いため、境界で曲がることで遅い物質の中を進む距離を減らせます。ちょうどライフセーバーが泳ぐ距離を減らすために砂浜を長く走るのと同じです。移動時間の合計を最小にすると、ちょうど n₁ sin(θ₁) = n₂ sin(θ₂) が得られます。

屈折 — どちらへ曲がるか、そしていつ通れなくなるか

あなたはどの屈折の型か

スネルの法則は n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂ という一本の式で、読むこととは二つの屈折率を比べることです。遅いほうの媒質へ入るとき光線は法線側へ曲がり、必ず通り抜けます。速いほうへ出るときは法線から遠ざかるように曲がり、臨界角を超えるとまったく出られません。この最後の型は式の破綻ではなく、物理が変わったということです。

遅い媒質へ — 法線側に曲がる n₁ < n₂ ⇒ θ₂ < θ₁

屈折率の大きな段差 — 効くのは比 sinθ₂ = (n₁/n₂) sinθ₁

臨界角ちょうど — 光を閉じ込める境目 sinθ_c = n₂/n₁

臨界角を超えて — 全反射 θ₁ > θ_c ⇒ ∄θ₂

遅い媒質へ — 法線側に曲がる

わかっていること: n₁ < n₂。境界を越えると光は遅くなるので、屈折角は入射角より小さい。透過する光線は必ずある。

スネル: n₁ < n₂ ⇒ θ₂ < θ₁

計算例: 空気から水へ、n₁ = 1、n₂ = 1.33、入射 30° → sinθ₂ = 0.5/1.33 → θ₂ = 22.1°

この型を開く: 空気 → 水

遅い媒質へ — 法線側に曲がる. 密な媒質へ入ると、光線は法線側へ傾いてそのまま進む。 n₁ < n₂。境界を越えると光は遅くなるので、屈折角は入射角より小さい。透過する光線は必ずある。 — 密な媒質へ入ると、光線は法線側へ傾いてそのまま進む。

屈折率の大きな段差 — 効くのは比

わかっていること: n₂ が n₁ よりずっと大きい。効くのは比だけなので、コントラストが大きければ浅い入射でも強く曲がる。

スネル: sinθ₂ = (n₁/n₂) sinθ₁

計算例: 空気からダイヤモンドへ、n₂ = 2.42、入射 15° → θ₂ = 6.1°。ダイヤモンドから空気へ戻る臨界角はわずか 24.4°

この型を開く: 空気 → ダイヤモンド

屈折率の大きな段差 — 効くのは比. 高い屈折率は光線を強く曲げ、出ていくための臨界角を小さくする。 n₂ が n₁ よりずっと大きい。効くのは比だけなので、コントラストが大きければ浅い入射でも強く曲がる。 — 高い屈折率は光線を強く曲げ、出ていくための臨界角を小さくする。

臨界角ちょうど — 光を閉じ込める境目

わかっていること: n₁ > n₂ で、入射がちょうど sinθc = n₂/n₁ の位置。屈折光は 90° で面をかすめ、あと一歩で消える。

スネル: sinθ_c = n₂/n₁

計算例: ガラスから空気へ、n₁ = 1.5 → θc = 41.8°。プリセットは 42° とわずかに超えており、光はすでに全反射している

この型を開く: 光ファイバー

臨界角ちょうど — 光を閉じ込める境目. 臨界角ちょうどでは、屈折光は面に沿って寝そべる。 n₁ > n₂ で、入射がちょうど sinθc = n₂/n₁ の位置。屈折光は 90° で面をかすめ、あと一歩で消える。 — 臨界角ちょうどでは、屈折光は面に沿って寝そべる。

臨界角を超えて — 全反射

わかっていること: n₁ > n₂ かつ θ₁ > θc。スネルの法則は sinθ₂ > 1 を要求するが、それを満たす角度はない。透過光はまったく存在しない。

スネル: θ₁ > θ_c ⇒ ∄θ₂

計算例: ガラスから空気へ 50°、臨界角 41.8° を大きく超える → 光の 100 % がガラス側へ戻る

この型を開く: 全反射（ガラス→空気）

臨界角を超えて — 全反射. 臨界角を超えると何も透過しない：面は完全な鏡になる。 n₁ > n₂ かつ θ₁ > θc。スネルの法則は sinθ₂ > 1 を要求するが、それを満たす角度はない。透過光はまったく存在しない。 — 臨界角を超えると何も透過しない：面は完全な鏡になる。

参考文献 (2)

Insight block 3 — Snell's law as a consequence of least time: P. de Fermat, letter to Cureau de la Chambre, 1 January 1662, in Œuvres de Fermat (ed. Tannery & Henry), vol. 2 — the derivation of the sine law from the principle of least time.
And the law six centuries before Snell: R. Rashed, "A Pioneer in Anaclastics: Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses." Isis 81(3), 464–491, 1990 — Ibn Sahl states the refraction ratio in a manuscript of about 984.

全プロセスの詳細解説

空気中から水へ 30° で入射する光 5 ステップ
光が 30° の角度で水に入射する。光が進む方向と反射する割合を求めよ。さらに、魚が水の外をまったく見ることができなくなる角度を求めよ。 n₁ = 1.00（空気）、n₂ = 1.33（水）。
1. 屈折とは、境界面に沿った波の成分に関する条件である。境界面の両側で波の位相が一致しなければ波面が引き裂かれてしまう。この一致条件がスネルの法則であり、フェルマーの原理からも同様に導かれる。
  
  $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$
2. 透過角について解く。上のシミュレーターが出力するのはこの値であり、より光速の遅い媒質に入るため、光線は法線に向かって曲がる。
  
  $sin θ_{2} = \frac{1.00 sin 3 0 ^{\circ}}{1.33} = 0.3759 ⟹ θ_{2} = 22.0 8^{\circ}$
3. どれだけの光が反射するかはスネルの法則では答えられない別の問いであり、2 つの偏光成分を区別して扱うフレネルの式を必要とする。
  
  $R_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{1} - n _{2} cos θ _{2}}{n _{1} cos θ _{1} + n _{2} cos θ _{2}}^{2}, R_{p} = \frac{n _{1} cos θ _{2} - n _{2} cos θ _{1}}{n _{1} cos θ _{2} + n _{2} cos θ _{1}}^{2}$
4. 非偏光は 2 つの偏光が均等に混ざり合った状態であるため、それらを平均する。ツールが出力するのはこの数値であり、2% という値こそが、窓が鏡ではなく窓として機能する理由である。
  
  $R = \frac{1}{2} (R_{s} + R_{p}) = 2.11%$
5. 今度は経路を逆にして考える。水から空気へ進む場合、ある角度を超えると方程式は sin θ₂ > 1 を要求するようになり、解が存在しなくなる。
  
  $water \to air : θ_{c} = arcsin \frac{n _{air}}{n _{water}} = arcsin \frac{1.00}{1.33} = 48.7 5^{\circ}$
解答

22.08° の方向へ進み、2.11% が反射する。 興味深いのは 48.75° という臨界角である。水中で見上げる魚には、頭上の約 98° の円錐の中に空全体が圧縮されて見える（「スネルの窓」）。そしてその円錐の外側では、水面が完全な鏡となって川底を映し出す。方程式が解を持たなくなるというこの同じ現象によって光ファイバーの中に光が閉じ込められており、世界中のデータは値の範囲を超えた逆正弦（アークサイン）に乗って運ばれているのである。

$θ_{2} = 22.0 8^{\circ}, R = 2.11%, θ_{c} = 48.7 5^{\circ}$
反射率2.11%で22.08°に屈折する光線 6 ステップ
パネルは光線を 22.08° に曲げ、反射率 2.11% と表示します。この数は、別々には見せてくれない 2 つの値の平均です——そしてある特定の角度では、その一方がちょうど 0 になります。それを見つけましょう。
1. パネルが表示する屈折から始めます。30° で水に入る場合の、スネルの法則そのままです。
  
  $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2} : θ_{2} = arcsin (\frac{1.00}{1.33} sin 3 0^{\circ}) = 22.0 8^{\circ}$
2. では反射率が実際には何なのかを見ます。光は面に対して 2 つの偏光を持ち、それぞれ反射の量が違い、2.11% はその平均です。平均に意味があるのは、2 つが同程度のときだけです。
  
  $R = \frac{R _{s} + R _{p}}{2} = 2.11%, R_{s} \neq = R_{p}$
3. 平行偏光のフレネル係数を書き下し、その分子がいつ 0 になるかを問います。これは正確な答えを持つ、まっとうな代数の問いです。
  
  $R_{p} = \frac{n _{2} cos θ _{1} - n _{1} cos θ _{2}}{n _{2} cos θ _{1} + n _{1} cos θ _{2}}^{2} = 0 ⟺ n_{2} cos θ_{1} = n_{1} cos θ_{2}$
4. この条件を整理すると、驚くべき形になります。反射光線と屈折光線が互いに直角に出ていくとき、ちょうど成り立つのです。代入すれば、全体はたった 1 つの正接になります。
  
  $θ_{1} + θ_{2} = 9 0^{\circ} ⟹ sin θ_{2} = cos θ_{1} ⟹ tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$
5. 水を入れます。53.06° では平行成分はまったく反射せず、面から跳ね返るものはすべて、もう一方の向きに偏光しています。
  
  $θ_{B} = arctan (\frac{1.33}{1.00}) = 53.0 6^{\circ}, θ_{2} = 9 0^{\circ} - 53.0 6^{\circ} = 36.9 4^{\circ}$
6. それが、ツールの知るもう 1 つの特別な角度——境界の反対側、より小さい角度に住む全反射——に対してどこに位置するかも見ておきましょう。
  
  $θ_{c} = arcsin (\frac{1.00}{1.33}) = 48.7 5^{\circ} < θ_{B}$
解答

ブルースター角、空気から水へなら 53.06° では、2 つの成分の一方が 0 を反射するため、反射光は完全に偏光します。これは珍事ではありません。偏光フィルターが湖やフロントガラスの映り込みだけを消し、その奥の光景をそのまま残す理由であり、そのためにフィルターを回さねばならない理由でもあります。パネルの平均された 2.11% は真の数ですが、役に立つほうの数を隠しています。面白い物理は 2 つの偏光の差にあり、その平均にはありません。

$tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}} ⟹ θ_{B} = 53.0 6^{\circ} : R_{p} = 0, R = R_{s}$

学習の道すじ

光の屈折

この次にレンズの光線追跡単一の境界面とそれを支配する法則、およびその理由。密な媒質中では光の速度が落ちるため、経路を曲げることこそが全体の到達時間を最短にする手段であること。そして臨界角を超えると、そもそも曲がるべき屈折光線が存在しなくなるという事実

42Math チーム · 更新 2026-09-03

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

物理学のレッスン一覧 →

例題

空気 → 水 - 空気→水:光線は法線に近づくように屈折する
空気 → ダイヤモンド - 空気→ダイヤモンド:強い屈折
全反射（ガラス→空気） - ガラス→空気、入射角50°:全反射
光ファイバー - 光ファイバー:臨界角付近