マリュスの法則と直交偏光板

各フィルターの透過軸を設定し、光がどれだけ残るか確認してください。フィルターを増やすと通常は光が減りますが、逆に光量を取り戻せることもあります。

計算例 — マリュスの法則と直交偏光板

フィルター 1 通過後 (0.0°)	50.000%
フィルター 2 通過後 (45.0°)	25.000%
全体の透過率	12.500%
フィルター 2 なし	0%
フィルター 2 の最適角	45.0°
その角度での透過率	12.500%
90.0° の範囲に 3 枚置いた際の最大値	12.500%

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レッスン

理論 — マリュスの法則と直交偏光板

マリュスの法則は、すでに偏光している光が偏光フィルターを通過した後にどれだけ残るかを示します。式は I = I₀cos²θ であり、θ は光の偏光面とフィルターの透過軸とのなす角です。非偏光はこれとは異なり、そもそも θ を持ちません。あらゆる方向が均等に含まれた状態で到達するため、最初に出会うフィルターはその光を正確に半分だけ透過させ、自身の透過軸に沿って偏光した光を後ろに送ります。したがって、二枚目以降のすべてのフィルターでは、手前のフィルターがすでに偏光を作り出しているため、マリュスの法則が適用されることになります。

各記号の意味

I₀: フィルターに到達した時点の強度であり、最初に出発した時点の強度ではありません
θ: 光の偏光面とフィルターの透過軸とのなす角。この差だけが影響するため、全体を一緒に回転させても画面上の数値は一切変化しません
φ: すでに偏光している光の偏光面。自然光には φ が存在しないため、一枚目のフィルターを通る際の損失はコサインではなく常に一律の半分となります
cos²θ: 生き残る光の割合。45° で半分、60° で四分の一、90° でゼロになります

前提: 理想的なフィルターを想定しています。つまり、軸に沿った光を完全に透過させ、直交する光を完全に遮断するものです。実際のシートはそのどちらでもありません。ポラロイド社はこの現実とのギャップを自社の素材名に込めました。HN-38 シートは自然光の 38% を透過させますが、ここでの計算上は 50% になるはずです。消えた十二パーセントは偏光されたのではなく、吸収されたのです。
成り立たない場合: 何枚もの実際のシートを重ねた場合、このページで最も驚くべき主張は成り立たなくなります。現実のフィルターはそれぞれ cos² だけでなく固有の吸収率も掛け合わせるため、50% に向かう上昇は数枚で頭打ちになり、その後は減少に転じます。九十一枚の理想的なフィルターなら 48.648% となりますが、九十一枚の実際のフィルターを重ねると光は全く通りません。

二枚のフィルターは光を完全に遮る。三枚なら八分の一が通り抜ける。 🖖

最初の軸を0°、二番目の軸を90°に設定します。cos²(90°)は完全にゼロです。メーターは0%を示し、ランプをどう操作してもこの値は変わりません。

次に、それらの間に三枚目のフィルターを45°で差し込みます。測定値は12.500%になります。

新しいフィルターも、他の二枚と同様に光を吸収します。しかし同時に光の向きを変える働きも持つため、光は一度に90°の段差を越えるのではなく、45°の段差を二回越えることになります。そして、cos²(45°)は1/2です。最初のフィルターを通過して1/2になった光が、さらに1/2、また1/2となるため、最終的に1/8になります。

フィルター 2 なしの行は全体の透過率の行のすぐ下にあるため、真ん中の軸をドラッグして動かしている間も、両方の数値が画面に残ります。

十枚のフィルターは三枚よりも明るい。そして50%の壁。 🖖

最初の軸を0°、最後の軸を90°に保ったまま、その間を等間隔のフィルターで埋めていきます。2枚なら0%、3枚なら12.500%です。4枚で21.094%、5枚で26.540%、10枚で37.957%。1°ずつ間隔を空けて91枚並べると48.648%になります。

そこにあるどのフィルターも光を吸収します。それでも、一枚追加するごとに測定値は上がっていきます。なぜなら、一度に大きく向きを変える方が、同じ角度を小さな段階に分けて変えるよりも失われる光が多いからです。

この上昇には、決して届くことのない上限があります。自然光は、最初に通過するフィルターの角度が何度であっても、そこで正確に半分の光を失います。その先で何をしようと、失われた半分を取り戻すことはできないのです。

回転の中間部分は、両端の二倍の損失を生む 🖖

光源を偏光に切り替え、光路に一枚だけフィルターを残します。0° では測定値は 100.000% です。30° に回すと 75.000% が残り、60° に回すと 25.000% となります。そして 90° まで回すと光は完全に消えます。

30° ずつ均等に三回回してみると、中間の回転による損失は、その前後の回転による損失の二倍になっています。cos²θ のグラフは cos が 1 に近いところでは平坦であり、45° で最も傾きが急になるためです。

カメラの偏光フィルターを回したことのある人なら、この感覚がわかるはずです。回し始めは空の色がほとんど変わりませんが、中間の角度にさしかかると見え方が劇的に変化します。

全プロセスの詳細解説

光を遮ることで光を通すフィルター 6 ステップ
強度 I₀ の自然光が、透過軸 0° のフィルターに入射し、続いて 90° のフィルターに入射します。その二枚の間に、透過軸 30° の三枚目のフィルターを滑り込ませます。このとき I₀ のうちどれだけの割合が全体を透過するでしょうか。また、透過率を最大にするには三枚目をどこに配置すべきか、そしてその最適な設定によって何が得られるでしょうか。

この問題をツールで開く
1. 一枚目のフィルターだけが、マリュスの法則に従いません。自然光には基準となる特定の偏光面が存在しないため、cos²θ に代入すべき θ がありません。あらゆる方向が均等に混ざり合った状態で到達するため、フィルターはその平均であるちょうど半分を透過させます。この構成を設定すると、「フィルター 1 通過後 (0.0°)」の行は 50.000% を示し、一枚目をどこへ回しても 50.000% のまま変わりません。
  
  $unpolarised light: \frac{I _{1}}{I _{0}} = \frac{1}{2} at every angle$
2. 一枚目のフィルターが自身の透過軸に沿って光を偏光させたため、それ以降はすべてマリュスの法則が適用されます。この構成で二枚目にあたるのは 30° のフィルターであるため、角度の差は 30° となり、係数は cos²(30°) = 0.75 になります。半分の光の、さらに四分の三。すなわち 37.500% であり、これは「フィルター 2 通過後 (30.0°)」の行に示されています。
  
  $\frac{I _{2}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$
3. 最後のフィルターは 90° の位置にあり、これは 30° からさらに 60° 進んだ角度です。cos²(60°) = 0.25 なので、37.500% の四分の一は 9.375% となります。これが最初の問いに対する答えであり、「全体の透過率」の行にはその結果を導き出した全体の計算式が示されています。½ · cos²(30°) · cos²(60°) です。
  
  $\frac{I _{3}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 0.375 \cdot 0.25 = 0.09375$
4. ここで、中間のフィルターを外してみます。この手順は少し立ち止まって考える価値があります。光は間に何もない状態で 0° と 90° のフィルターを通過することになります。角度の差は 90° となり、cos²(90°) はゼロです。「フィルター 2 なし」の行は 0% を示します。すでに消滅していた光路に光を吸収するプラスチックのシートを一枚落とし込んだことで、測定値がゼロから 9.375% へと引き上げられたのです。
  
  $filter 2 removed: \frac{1}{2} cos^{2} (9 0^{\circ}) = 0$
5. では、どこに置くのが最も効果的でしょうか。二つの角度の差を足して 90° になる条件下で最大化すべき値は cos²(δ)·cos²(90° − δ) です。等分された角度が最も優れています。30° での 9.375% に対して、45° では ½ · ½ · ½ = 12.500% となります。「フィルター 2 の最適角」の行は 45.0°、「その角度での透過率」の行は 12.500% を示します。
  
  $δ max \frac{1}{2} cos^{2} (δ) cos^{2} (9 0^{\circ} - δ) \Rightarrow δ = 4 5^{\circ}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.125$
6. フィルターの数が何枚に増えようと、等間隔に配置するのが常に最適です。その理由は、ln cos が上に凸の関数であるため、全体の回転角が決まっているなら均等に分割する方が損失が小さくなるからです。「フィルターを追加」を押して四枚目を入れ、「均等に配置」で整列させてみてください。結果は 21.094% になります。同じ直角の範囲に十枚のフィルターを置けば 37.957% に達します。
  
  $\frac{I _{n}}{I _{0}}_{even} = \frac{1}{2} cos^{2 (n - 1)} (\frac{9 0 ^{\circ}}{n - 1}) : n = 4 \to 0.21094, n = 10 \to 0.37957$
解答

30°で9.375%、45°で12.500%となります。これが、全体の角度が90°となる条件において3枚のフィルターが達成できる最大値です。しかし、本当に覚えておくべき数字はそのどちらでもありません。それは、真ん中のフィルターを引き抜いた瞬間に現れる「ゼロ」です。そのフィルターも他の二枚と同様に光を吸収します。それでも、フィルターがない時よりもある時の方が全体として明るくなります。なぜなら、このフィルターが光の向きを変えることで、最後のフィルターが光を通しやすくなるからです。

$\frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 9.375% against \frac{1}{2} cos^{4} (4 5^{\circ}) = 12.5%$

参考文献 (3)

The paper the law is named after, written by an army engineer who noticed it in the windows of the Luxembourg Palace: É. L. Malus, "Sur une propriété de la lumière réfléchie." Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil 2, 1809, pp. 145–158.
Where the 38% comes from — the man who invented sheet polarisers, on how well they really work: E. H. Land, "Some Aspects of the Development of Sheet Polarizers." Journal of the Optical Society of America 41(12), 1951, pp. 957–963. DOI 10.1364/JOSA.41.000957
The textbook treatment of ideal polarisers and the stacked-filter result: E. Hecht, Optics, 5th edition, Pearson, 2017, chapter 8 (Polarization).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。