薄レンズ光線追跡シミュレーター

焦点距離と物体距離を調整して、薄レンズが実像・虚像をどう形成するかを確認しましょう。

計算例 — 薄レンズ光線追跡シミュレーター

像距離	166.7 mm
倍率	-0.67×
像の高さ	26.7 mm

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

物体と像は入れ替われる 🖖

薄肉レンズの式 1/v = 1/f − 1/u は u と v について対称で、このツールがそれを見せてくれます。凸レンズのプリセット（f = 100 mm、物体距離 250 mm）を読み込むと、像距離は 166.7 mm、倍率は −0.67× と表示されます。次に物体距離の欄に 166.7 と入力してください。像は 250 mm、倍率 −1.50× に移ります。二つの倍率を掛けるとちょうど 1 です。したがってどのレンズにも、同じスクリーン上に結像する物体位置が二つあり、一方は拡大、他方は縮小になります。その二点間の距離から f が求まり、レンズの中心を突き止める必要はまったくありません。これが古典的なベッセルの変位法です。

光線は2本で十分 🖖

薄レンズは物体上の1点から出た光線をすべて曲げて1つの像点に集め直すので、たどりやすい2本だけ追えば像が見つかります。光軸に平行な光線は先端から水平に進み、レンズを出て焦点を通ります。中心光線はレンズの中心をまっすぐ素通りします。この2本が交わる場所が像です。後方へ延長したときだけ交わるなら、その像は虚像で、これが虫眼鏡の状態です。

無限遠を通り抜ける像 🖖

物体を焦点に近づけると、像距離 v は +∞ へ突き進み、消えたのち左側に −∞ として再び現れます——虚像です。物理的に瞬間移動しているわけではありません。レンズの公式 1/v = 1/f − 1/u はメビウス変換(一次分数変換)であり、この種の変換は無限遠を普通の点として扱います。u = f を横切ると、像はその無限遠点を滑らかに通過し、実像から虚像へと切り替わります。

全プロセスの詳細解説

40 mm の物体（凸レンズの 250 mm 前方） 5 ステップ
高さ 40 mm の物体が、焦点距離 100 mm の凸レンズの前方 250 mm に置かれている。像の位置、大きさ、向きを求め、次いでこのレンズがなし得ない唯一の事柄を求めよ。
1. 1 つの方程式がページ全体を支配している。数値を代入する前に像の距離について変形しておけば、計算は 1 回で済む。
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. 代入する。両方の逆数は分母 250 を共有しており、これが計算の全体となる。ツールはこの数値を出力する。
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. 倍率は 2 つの距離の比であり、実像は倒立するため負となる。物体は 2f より遠くにあるため、像は小さくなるはずであり、これはプロジェクターを逆再生した状態である。
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. 同じ法則のニュートン形式では、両方の距離をレンズからではなく焦点から測定する。それらの積は、物体のあらゆる位置において正確に f² となり、これは逆数形式が提示できると思える内容よりも強力な主張である。
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. 次に、物体と像がどこまで近づき得るかを考える。両者の距離を最小化すると対称な配置が得られ、その答えはレンズ以外の何物にも依存しない。
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
解答

像はレンズの後方 166.7 mm に、高さ 26.7 mm の倒立像として結ばれる。最後の行こそが有用な示唆を含んでいる。ここでは物体と像は 416.7 mm 離れており、物体の距離をどのように設定しても、両者の距離を 4f = 400 mm より近づけることはできない。物体を焦点へと近づけるにつれて、像は物体が近づく速度よりも速く遠ざかるからである。したがって、スクリーンに実像を投映しなければならないプロジェクターには、焦点距離のみによって決まる厳密な最小投映距離が存在する。奥行きのない部屋に必要なのは、より高機能なレンズではなく、焦点距離の短いレンズである理由がここにある。

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$

学習の道すじ

光の屈折

この次に実際のレンズ数式ではなく図として表された薄肉レンズの公式。平行に入射して焦点へと抜ける光線と、中心を直進する光線の二本だけで作図は十分であること。これらが交わる場所が像となり、光線を逆方向に延長しなければ交わらない場合にできる像は、虚像であるということ

参考文献 (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

42Math チーム · 更新 2026-06-13

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例題

凸レンズ - 凸レンズ:実像・倒立像
凹レンズ - 凹レンズ:虚像・正立像
焦点上 - 焦点に物体を置くと像は無限遠にできる
虫眼鏡 - 拡大鏡:虚像・拡大像