薄レンズ光線追跡シミュレーター

焦点距離と物体距離を調整して、薄レンズが実像・虚像をどう形成するかを確認しましょう。

計算例 — 薄レンズ光線追跡シミュレーター

像距離	166.7 mm
倍率	-0.67×
像の高さ	26.7 mm

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

物体と像は入れ替われる 🖖

薄肉レンズの式 1/v = 1/f − 1/u は u と v について対称で、このツールがそれを見せてくれます。凸レンズのプリセット（f = 100 mm、物体距離 250 mm）を読み込むと、像距離は 166.7 mm、倍率は −0.67× と表示されます。次に物体距離の欄に 166.7 と入力してください。像は 250 mm、倍率 −1.50× に移ります。二つの倍率を掛けるとちょうど 1 です。したがってどのレンズにも、同じスクリーン上に結像する物体位置が二つあり、一方は拡大、他方は縮小になります。その二点間の距離から f が求まり、レンズの中心を突き止める必要はまったくありません。これが古典的なベッセルの変位法です。

光線は2本で十分 🖖

薄レンズは物体上の1点から出た光線をすべて曲げて1つの像点に集め直すので、たどりやすい2本だけ追えば像が見つかります。光軸に平行な光線は先端から水平に進み、レンズを出て焦点を通ります。中心光線はレンズの中心をまっすぐ素通りします。この2本が交わる場所が像です。後方へ延長したときだけ交わるなら、その像は虚像で、これが虫眼鏡の状態です。

無限遠を通り抜ける像 🖖

物体を焦点に近づけると、像距離 v は +∞ へ突き進み、消えたのち左側に −∞ として再び現れます——虚像です。物理的に瞬間移動しているわけではありません。レンズの公式 1/v = 1/f − 1/u はメビウス変換(一次分数変換)であり、この種の変換は無限遠を普通の点として扱います。u = f を横切ると、像はその無限遠点を滑らかに通過し、実像から虚像へと切り替わります。

全プロセスの詳細解説

40 mm の物体（凸レンズの 250 mm 前方） 5 ステップ
高さ 40 mm の物体が、焦点距離 100 mm の凸レンズの前方 250 mm に置かれている。像の位置、大きさ、向きを求め、次いでこのレンズがなし得ない唯一の事柄を求めよ。
1. 1 つの方程式がページ全体を支配している。数値を代入する前に像の距離について変形しておけば、計算は 1 回で済む。
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. 代入する。両方の逆数は分母 250 を共有しており、これが計算の全体となる。ツールはこの数値を出力する。
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. 倍率は 2 つの距離の比であり、実像は倒立するため負となる。物体は 2f より遠くにあるため、像は小さくなるはずであり、これはプロジェクターを逆再生した状態である。
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. 同じ法則のニュートン形式では、両方の距離をレンズからではなく焦点から測定する。それらの積は、物体のあらゆる位置において正確に f² となり、これは逆数形式が提示できると思える内容よりも強力な主張である。
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. 次に、物体と像がどこまで近づき得るかを考える。両者の距離を最小化すると対称な配置が得られ、その答えはレンズ以外の何物にも依存しない。
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
解答

像はレンズの後方 166.7 mm に、高さ 26.7 mm の倒立像として結ばれる。最後の行こそが有用な示唆を含んでいる。ここでは物体と像は 416.7 mm 離れており、物体の距離をどのように設定しても、両者の距離を 4f = 400 mm より近づけることはできない。物体を焦点へと近づけるにつれて、像は物体が近づく速度よりも速く遠ざかるからである。したがって、スクリーンに実像を投映しなければならないプロジェクターには、焦点距離のみによって決まる厳密な最小投映距離が存在する。奥行きのない部屋に必要なのは、より高機能なレンズではなく、焦点距離の短いレンズである理由がここにある。

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$
拡大鏡と、柄に5×と記されている理由 7 ステップ
40 mmの甲虫の30 mm上に、50 mmのレンズをかざす。像はどこに、どちら向きに、どれだけの大きさでできるか。次いで、柄に5×と刻印された拡大鏡に対して、ツールが2.50×と表示する理由を説明せよ。

この問題をツールで開く
1. やり方は変わりません。より焦点距離の短いレンズに対して、問題1と同じ方程式を用います。異なるのは、物体が焦点距離のはるか外側ではなく、内側に置かれているという点です。
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 5}{150} = - \frac{1}{75} ⟹ d_{i} = - 75.0 mm$
2. 像の距離は負となり、「どこに」という問いの答えはこれで尽きている。負であることは、レンズを出た光線がなお発散し続けていることを意味し、光線が交わることはないためスクリーンを置いても何も捉えられない。光線を後方へと逆に辿ると、甲虫と同じ側の75 mm離れた点から広がっているように見え、目が像を捉えるのはその位置である。
3. 倍率は符号もそのまま引き継ぐ。正のmは正立を意味するため、甲虫は正立のまま高さ100 mmとなり、ツールは像を虚像かつ正立と表示する。
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{- 75.0}{30} = + 2.50, h^{'} = m h = 2.50 \times 40 = 100.0 mm$
4. ある特定の設定で計算するのではなく、方程式を一般に解いてみましょう。すると、あらゆる拡大鏡の挙動が一つの分数から導き出されます。凸レンズの焦点距離の内側であれば、どんな距離でも倍率は常に正であり、等倍より大きくなります。例外を覚える必要はありません。
  
  $m = \frac{f}{f - d _{o}} ⟹ d_{o} < f \Rightarrow m > 1 and m > 0 always$
5. 両端の極限を手元で確認してみる価値はある。レンズを甲虫の上まで押し下げると倍率は1になり、これは紙の上に平らに置いたレンズの挙動と同じである。レンズを焦点に向かって持ち上げると倍率は際限なく大きくなるが、同時に像は無限遠へと急速に遠ざかり、目は像を見失ってしまう。「焦点上の物体」プリセットが数値ではなく∞を表示するのはそのためである。
  
  $d_{o} \to f^{-} : m \to + \infty, d_{o} \to 0 : m \to 1$
6. では、5×はどこから来るのか。今回の計算からではない。拡大鏡が提供する価値は線形な寸法ではなく見かけの角度の大きさ（角倍率）である。すなわち、力を抜いた目が焦点を合わせられる最短距離（慣例として250 mm）に対象を置いた場合と比べて、甲虫がどれだけ大きく見えるかである。物体を焦点に置き、平行光線として射出させると、その比較は2つの角度の比となる。
  
  $M = \frac{h / f}{h / D} = \frac{D}{f} = \frac{250}{50} = 5 \times (D = 250 mm)$
7. 代わりに像を250 mmの近点まで引き寄せると、同じレンズで6×になります。どちらの基準も使われているため、あるメーカーの5×のルーペと別のメーカーの6×のルーペが、実は全く同じレンズだということも起こり得ます。このツールが示すのは、あなたが実際に選んだ距離における線倍率です。つまり、像の上に定規を置いた場合に読み取れる数値のことです。目にどう映るかは構える位置によって変わりますが、像を近点に持ってきたとき、両者は一致します。
  
  $M_{d_{i} = - D} = 1 + \frac{D}{f} = 1 + 5 = 6 \times$
解答

レンズから75 mm、甲虫と同じ側、正立、高さ100 mm、虚像。ページが表示する2.50×と柄にある5×は異なる量を測っている。一方はレンズを保持している位置における物体の高さに対する像の高さの比であり、もう一方は一定の観察規約のもとでの見かけの角度の比である。

$d_{i} = - 75.0 mm, m = + 2.50, h^{'} = 100.0 mm (virtual, upright)$

学習の道すじ

光の屈折

参考文献 (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

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