最速降下曲線：最も速い滑り台

ゴールまでの水平距離と垂直距離を設定し、オレンジ色のハンドルをドラッグして自分のスロープを描いてください。摩擦のない直線のスロープ、ガリレオの円弧、サイクロイド、そしてあなたが描いた曲線の四つで、同時にビーズを転がします。どれが最初に到着するかを観察し、その理由を下の解説で確認しましょう。

計算例 — 最速降下曲線：最も速い滑り台

直線のスロープ：時間	0.6387 s
ゴールを通るサイクロイドの円の回転角 φB	138.20°
サイクロイドの円の半径	0.5729 m
サイクロイド：時間	0.5830 s
ガリレオの円弧（最下点がゴール）：時間	0.5921 s
描いた曲線：時間	0.5847 s
スロープのサイクロイドからの遅れ	9.55%
サイクロイドがゴールより下に沈む深さ	0.000 m

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レッスン

理論 — 最速降下曲線：最も速い滑り台

最速降下曲線（ブラキストクロン）（ギリシャ語で「最短時間」）は、重力下で摩擦なく滑り落ちるビーズが、ある点からより低い点へと最も早く到達する曲線のことです。これはサイクロイド x = R(φ − sin φ)、y = R(1 − cos φ)（y は下向きに測定）であり、スタートライン上を転がる半径 R の円の縁にある点の軌跡のうち、ゴールを通るように選ばれたものです。その所要時間は φ_B √(R/g) であり、曲線に沿って sin θ / v = 1/(2√(gR)) が成り立ちます。

各記号の意味

φ: 円の回転角（ラジアン）。ゴールでは φ_B
R: 転がる円の半径
θ: 鉛直方向に対する傾斜角
v: ビーズの速度。摩擦のない軌道上の深さ y では √(2gy)

長い滑り台が勝つ 🖖

水平 1 m、垂直 1 m を押し、四つのビーズの動きを見てみましょう。直線のスロープは 1.414 m と最も短い軌道ですが、到着は 0.6387 s と最後になります。サイクロイドは 0.060 m 長いものの、0.5830 s で最初に到着します。これはスタート直後に急激に落下し、残りの道のりを高速で進むからです。どの摩擦のない軌道でも 1 m の落下で得られる最終速度は 4.429 m/s で同じであり、軌道の形はどれだけ早くその速度に達するかだけを決めます。ヨハン・ベルヌーイは 1696 年6月の挑戦状で、直線は最短距離の線であるが「最短時間で移動できる線ではない」と述べています。ガリレオはすでに 1638 年に円弧が直線の弦より速いことを示しており、円がその答えであると考えていました。ここでの1/4円弧は 0.5921 s とスロープには勝ちますが、サイクロイドには 1.56% 遅れます。また、あなたがおおまかになぞったオレンジ色の曲線に注目してください。サイクロイドよりわずか 0.29% 遅れるだけです。ライフガードが浜辺から海へ向かう際と同様に、最適経路の付近では所要時間はほとんど変わりません。

ゴールが遠いと、最速の軌道はゴールより下に潜り込む 🖖

水平 4 m、垂直 1 m を押してください。ゴールに到達するサイクロイドはゴールの 0.504 m 下まで潜ってから登り直しますが、それでも 1.2117 s で勝利します。スロープは 1.8620 s、ガリレオの円弧は 1.4847 s です。必要以上に下ることは一見無駄に思えますが、深く潜ることで長い水平距離を横断するための速度を稼げます。最後の 0.5 m を登るほうが、浅い傾斜をゆっくり進むよりも時間の損失が少ないのです。ゴールまでの水平距離が垂直距離の π/2 = 1.5708 倍よりも遠い場合、サイクロイドは必ず沈み込みます。到達するまでに円が半回転以上転がる必要があるからです。水平 10 m、垂直 1 m の場合、ゴールの 2.312 m 下まで潜り、スロープの所要時間は 115.71% 長くなります。サスマンとウィレムスが指摘するように、ベルヌーイ自身が 1697 年に発表した証明にはまさにこの沈み込みの底でギャップがありましたが、それは後の最適制御理論によって埋められました。

ビーズはスネルの法則に従う 🖖

1697 年5月に発表されたベルヌーイの解法では、ビーズをビーズとして扱っていませんでした。どの軌道上でも深さ y での速度は √(2gy) となるため、彼は深さと共に速度が全く同じように増していく媒質を薄い層に切り分け、その中を進む光を想像したのです。層を横切る光はすべての層で sin θ / v を一定に保ちます。これが速度を用いたスネルの法則であり、その光が最短時間で進む経路がビーズの最短時間の経路と一致します。二つ目のパネルでビーズ自身について確認してみましょう。サイクロイドに沿うと sin θ / v は上から下まで 0.211 s/m を保ちます。一方、傾きが一定の直線のスロープでは、ビーズの加速に伴い、10分の1下った時点の 0.505 s/m から10分の9下った時点の 0.168 s/m へと低下します。ライフガードを 36.18 m の地点で海に向かわせた規則が、サイクロイドを描き出す規則でもあるのです。

全プロセスの詳細解説

ゴールを好きなだけ低くする 4 ステップ
ゴールは水平に 4 m 離れていますが、深さは自由に設定できます。 水平方向の 4 m を最も短い時間で進むには、どれだけ下にするべきでしょうか。また、それはゴールが 1 m 下の場合よりどれくらい速いでしょうか。最初のステップを確認するには 水平 4 m、垂直 1 m を押してください。

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1. ゴールが 1 m 下の場合、このページが示すサイクロイドの所要時間は：
  
  $H = 1 m : T = φ_{B} R / g = 1.2117 s$
2. 深さを自由に選べるのであれば、ビーズがゴールラインを真横に横切るように、サイクロイドがアーチの底で水平になる場所が最適なゴールとなります。それは円が半回転したところです：
  
  $\frac{d y}{d x}_{B} = 0 \Rightarrow φ_{B} = π$
3. 半回転で円は πR だけ進むため、4 m という距離から R が導かれ、落下距離は円の直径になります：
  
  $π R = 4 \Rightarrow R = \frac{4}{π} = 1.2732 m, H = 2 R = 2.5465 m$
4. そして所要時間 φ_B √(R/g) は：
  
  $T = π \frac{1 . 2732}{9 . 80665} = \frac{4 π}{9 . 80665} = 1.1320 s$
解答

ゴールを 2.5465 m 下、つまり先ほどより 1.5465 m 深い位置に設定すると、ビーズは 4 m を 1.1320 s で進みます。これはゴールが 1 m 下のときの 1.2117 s より 0.0797 s 速くなります。深さの入力欄に 2.5465 と打ち込むとページにも表示されます。φ_B は 180.00° となり、サイクロイドは 1.1320 s かかります。ファウラーの講義ノートでも一般的に同じ形状が導かれています。与えられた水平距離に対して最速となる曲線は水平に到達する半サイクロイドであり、その時間は √(πL/g) と計算されます。

$H = 2.5465 m, T = 1.1320 s, 1.2117 - 1.1320 = 0.0797 s$

学習の道すじ

最小時間、最小作用

参考文献 (2)

The history and the mathematics: Bernoulli's challenge of June 1696 and its wording, Galileo's circular arc of 1638, the solutions of 1697, Bernoulli's own solution by Snell's law in thin layers, and the gap in it where the cycloid dips below the finish: H. J. Sussmann and J. C. Willems, "300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle", IEEE Control Systems 17(3), 32–44 (1997).
The brachistochrone derived by the calculus of variations, and the fastest curve to a given horizontal distance when the drop is free, a half-cycloid that arrives level: M. Fowler, "The Calculus of Variations", lecture 2 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

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