媒介変数曲線

媒介変数曲線を探索しよう：t が変化するときの軌跡上の点と接線ベクトルを観察できます。

計算例 — 媒介変数曲線

t	3.1416
(x, y)	(-1.000, 0.000)
速さ \|dr/dt\|	2.000
dx/dt, dy/dt	(0.000, 2.000)

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同じ絵をまったく違う速さで描くことができる 🖖

媒介変数表示の曲線は、残される形以上の情報を運びます。(cos t, sin t) と (cos 2t, sin 2t) を比べてみてください。どちらも同一の単位円を描き、絵だけでは区別がつきません。それでも後者は半分の時間で描き終わります。同じ絵を生む媒介変数表示は無限に存在するのです。だから弧長は軌跡そのものの性質であり、速さと向きはそれを生み出した時間割にだけ属します。物理がグラフではなく媒介変数を使う理由もこれです。惑星の軌道は形ですが、その形に沿ってどう動くかこそが問題なのです。

2つの規則が1本のペンを導く 🖖

各 x に対する y を問うのではなく、媒介変数曲線は時計 t を回し、2つの別々の規則でペンを操ります。x(t) が右へどれだけ進むかを、y(t) が上へどれだけ進むかを決めるのです。見えている軌跡は物語の半分にすぎません。動く点とその接ベクトルが残りの半分、すなわち向きと速さを伝えます。矢印の長さが速さなので、同じ形をゆっくり描いても急いで描いても見た目は同じですが、その背後にある運動はまったく異なります。

振れ幅を無視する時計 🖖

サイクロイド x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) を上下逆さにすると等時曲線になります。摩擦のない玉は、どこから放しても正確に同じ時間で最下点に達するのです。ホイヘンスは1673年にこれを利用し、サイクロイド状の頬で振り子時計を成形して、振れ幅によらず正確に時を刻ませました。たった1本の媒介変数曲線が、時計製造に振幅に左右されない初の振り子をもたらしたのです。

全プロセスの詳細解説

t = π におけるリサージュ曲線の位置と速度 6 ステップ
t = π におけるリサージュ曲線 x = cos 3t, y = sin 2t。パネルが表示する位置と速さを求めよ。次いで、パネルが表示しない唯一のこと、すなわち曲線がどれほど急に曲がっているかを求めよ。
1. 同じ媒介変数に関する2つの独立した関数である。これらを微分することが速度の計算のすべてであり、合成関数の微分法によって係数 3 と 2 が導かれる。
  
  $x (t) = cos 3 t, y (t) = sin 2 t; \overset{x}{˙} = - 3 sin 3 t, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 t$
2. まず位置を求める。両方の三角関数が正確な値をとるため、π を選ぶ価値がある。
  
  $t = π : x = cos 3 π = - 1, y = sin 2 π = 0$
3. 次に速度を求める。一方の成分は消え、もう一方は最大値をとる — この瞬間における運動は純粋に垂直方向である。
  
  $\overset{x}{˙} = - 3 sin 3 π = 0, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 π = 2 ⟹ ∣ \dot{r} ∣ = 2.000$
4. その成分が消えるのは計算上の偶然ではない。x は折り返し地点にあり、曲線はここで最も左の端に接している。
  
  $\overset{x}{˙} = 0 with \overset{y}{˙} \neq = 0 : the curve is moving straight up, and x is at a turning point$
5. 曲率を求めるには、それぞれをもう一度微分する必要がある。どちらも1階微分と同様に容易であり、これこそが媒介変数表示の利点である。
  
  $\overset{x}{¨} = - 9 cos 3 t = 9, \overset{y}{¨} = - 4 sin 2 t = 0$
6. 標準的な公式に当てはめる。分子は外積、分母は速さの3乗であり、実際に強く曲がっていない限り、速さが大きい点ほど平坦に見えるのはこのためである。
  
  $κ = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{∣0 - 18∣}{8} = 2.25 ⟹ ρ = \frac{1}{κ} = 0.444$
解答

曲率半径 0.444 — この曲線は半単位を大幅に下回る半径の円の内側で曲がっている。速さと曲率は独立しており、この地点はその違いを明確に示している。速さはどちらの成分が達する最大値でもある 2 である一方で、軌道は図形のどこよりも急激に曲がっている。この地点にある自動車は、高速で走行しかつ急旋回しており、これこそが横荷重を生み出す組み合わせそのものである。位置や速度の表示からはそれを窺い知ることはできない。なぜなら曲率には2階導関数が必要であるのに対し、パネルの表示は1階導関数にとどまるからである。これこそが媒介変数表示を用いる価値でもある。x と y の関係式として見るとこの曲線は複雑な6次式となるが、t の2つの関数として見れば、どの導関数も1行で収まる。

$(x, y) = (- 1, 0), ∣ \dot{r} ∣ = 2.000, κ = 2.25, ρ = 0.444$

参考文献 (1)

Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

42Math チーム · 更新 2026-06-26

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例題

リサジュー 3:2 - x = cos 3t, y = sin 2t。ここにあるプリセットの中で唯一、動きが止まることのない図形です。t = 3.142 での速さは 2.0000 であり、どの時点でもゼロになることはありません。dx/dt と dy/dt が同時にゼロになる t が存在しないからです。アステロイドやサイクロイドには尖点がありますが、この図形がどこまでも滑らかなのはこの性質によるものです。
サイクロイド - 転がる車輪の縁にある点の軌跡であり、プリセットは尖点の一つに位置しています。t = 6.283 での値は 0.0002 です。車輪の縁は地面に触れるたびに一瞬だけ静止します。t をドラッグしてアーチの頂点へ移動させると、そこでの速さは車輪自体の速さの二倍になります。
アステロイド - x = cos³t, y = sin³t であるため、速さは正確に 1.5|sin 2t| となります。プリセットが示す t = 3.142 の位置でこの値は 0.0000 となり、他の三つの点でも同様です。これら四つの零点が四つの尖点に相当します。
バタフライ曲線 - 極方程式 r = e^cos t − 2cos 4t を、x = r sin t, y = r cos t として描画しています。t = 3.142 における速さは 1.6321 ですが、ここで重要なのはその値自体よりも変化の幅です。一周する間に速さは十三倍以上も変動します。軌跡を描く点がぎこちなく動くのはこのためです。
ハート曲線 - ハート曲線 x = 16 sin³(t) — t = π で速さが 0.0002 まで落ちる、ハートの尖点
エピサイクロイド - カージオイド、尖点1つのエピサイクロイド — t = π で速さは最大の 4.0000、尖点のちょうど反対側
デルトイド状ハイポトロコイド - デルトイド — カージオイドと同じ 2cos(t) ± cos(2t) の族で符号が1つ反転し、尖点は1つではなく3つ
アルキメデスの螺旋 - アルキメデスの螺旋 — t = 6.283 で速さ 6.3621、一周ごとに長くなるので際限なく増え続ける