媒介変数曲線

媒介変数表示は隠された時間変数tを導入することでyのxへの依存を分離します。これにより、デカルト座標では垂直線テストに違反するような複雑で自己交差する動的経路の連続的なマッピングが可能になります。

各 x に対する y を問うのではなく、媒介変数曲線は時計 t を回し、2つの別々の規則でペンを操ります。x(t) が右へどれだけ進むかを、y(t) が上へどれだけ進むかを決めるのです。見えている軌跡は物語の半分にすぎません。動く点とその接ベクトルが残りの半分、すなわち向きと速さを伝えます。矢印の長さが速さなので、同じ形をゆっくり描いても急いで描いても見た目は同じですが、その背後にある運動はまったく異なります。

サイクロイド x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) を上下逆さにすると等時曲線になります。摩擦のない玉は、どこから放しても正確に同じ時間で最下点に達するのです。ホイヘンスは1673年にこれを利用し、サイクロイド状の頬で振り子時計を成形して、振れ幅によらず正確に時を刻ませました。たった1本の媒介変数曲線が、時計製造に振幅に左右されない初の振り子をもたらしたのです。