レッスン
理論 — フェルマーの原理：ライフガードの問題
フェルマーの原理：光は、到達時間が停留する経路、つまり経路をわずかに変更しても時間に一次の変化が生じないような経路を通って二点間を進みます。v₁ で走り v₂ で泳ぐライフガードの場合、入水地点 x を通る合計時間は T(x) = √(x² + a²)/v₁ + √((L − x)² + b²)/v₂ となり、水辺への垂線から測った角度を用いて sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂ となる場所で最小になります。光の場合、v = c/n を代入すると、これはスネルの法則 n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ になります。
各記号の意味
x- 経路が交差する水辺上の位置
v_1- 砂浜での速さ
v_2- 水中での速さ
θ- 経路と水辺への垂線がなす角度
T″- 最適な地点での時間の二次導関数。Δ のずれによるロスはおよそ ½T″Δ² になる
- 前提
- 明確な水辺の境界の両側をそれぞれ一定の速さで直線的に進むこと、方向転換や入水による時間のロスがないこと、そして遊泳者がその場に留まることを前提としています。Pennings 氏はエルビスについても同じ前提を挙げた上で、波によって境界が曖昧になること、そしてコーギーは泳ぎ始める前に少しだけ水の中を走ることを付け加えています。
全プロセスの詳細解説
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柔らかい砂の帯がある浜辺 5 ステップ
最初のプリセットに登場したライフガードは、10 m の柔らかく乾いた砂浜をわずか 4 m/s で走り抜け、その後 10 m の硬い砂浜を 7 m/s で走ってから水に入らなければなりません。遊泳者は変わらず沖へ 20 m、横へ 40 m の位置におり、泳ぐ速さも 1.5 m/s のままです。この場合の最速時間は何秒でしょうか。また、新しい浜辺で古い経路を走ると、どの程度のロスが生じるでしょうか。まっすぐ要救助者へを押して、最初のステップを確認してください。
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柔らかい砂の帯がない場合、ページ上の最適な入水地点と最速の時間は以下の通りです：
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三つの帯がある場合、最速の経路は二つの境界で曲がり、傾きの条件はすべての帯で共通する一つの数値 c = sin θ / v となります。奥行き h の各帯における横方向の移動距離は h tan θ で表され、三つの帯の横方向の移動距離の合計は浜辺に沿って 40 m にならなければなりません。c について解くと：
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これにより、境界に対する垂線から測った各帯での角度が求まります：
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それぞれの区間の長さは h / cos θ であり、かかる時間は長さを速さで割ったものになります：
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両方の砂浜をまっすぐ横切り、以前と同じ 36.18 m の入水地点を通る古い経路では、走る距離の半分を柔らかい砂浜に費やすことになります：
解答
最速の経路では 21.03 s かかります。柔らかい砂浜は直進から 32.75° の鋭い角度で横切り、横方向の移動の大部分を硬い砂浜の上で 71.23° の角度で走ってから、35.86 m の地点で水に入ります。新しい浜辺で古い経路を進むと 21.69 s かかるため、柔らかい砂の帯を無視した場合のロスは 0.67 s となり、古い浜辺で一メートルずれた場合の 16 ms のロスよりもはるかに大きくなります。直線の経路は 24.41 s になります。ここで機能している法則は、光がガラスの層を通り抜けるときに従う法則と同じです。つまり、どの帯においても sin θ / v は同じ値になるのです。
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学習の道すじ
最小時間、最小作用
参考文献 (2)
- Elvis the corgi: his running and swimming speeds, the optimal entry point y = x/√((r/s)² − 1) that does not depend on the distance along the beach, and the 35 measured retrieves this page plots: T. J. Pennings, "Do Dogs Know Calculus?", The College Mathematics Journal 34(3), 178–182 (2003).
- Fermat's principle in its modern form, that a small change in the path makes no first-order change in the time; the lifeguard as Feynman's illustration of it; and why the stationary path is the one the light takes, from the phases of neighbouring paths: M. Fowler, "Fermat's Principle of Least Time", lecture 3 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.