最小作用の原理

20 m 投げる を押してください。作用とは運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものを飛行全体にわたって足し合わせたものであり、真の軌道では 67.9432 J·s になります。同じ両端を結ぶ水平な直線の作用は 100.0000 J·s となり、それより大きくなります。同じ運動、上に 1 m 曲げる を押してください。高く上がると位置エネルギーの積分 ∫V dt は 12.4862 J·s 増加しますが、2 s で往復するのに十分な速さで動くため、運動エネルギーの積分 ∫K dt は 13.7199 J·s 増加します。その結果、それらの差である作用は 1.2337 J·s 増加します。曲がりを −1 に設定すると作用は再び 69.1769 J·s となり、同じ量だけ増加します。この変化には一次の項がありません。正確に曲がりの二乗の 1.2337 倍になるため、ライフガードの交差点がそうであったように、真の軌道はボウルの底に位置しています。物理学者はこれをハミルトンの原理と呼びます。そして一様重力においてはこのボウルがひっくり返ることはありません。表が示すように、持続時間がどのような投射であってもすべての曲がりが作用を増加させるのです。

ばねに切り替えて ばね 1.5 s、一山 を押してください。ばねの周期は 2 s であるため、この運動は半周期を超えています。このとき、一山の曲がりは作用を減少させます。0.2 m 曲げると作用は 0.0000 J·s から −0.0822 J·s へ減少し、c₁ は −2.0562 となります。ばね 1.5 s、二山 を押すと、今度は作用が 0.1151 J·s に増加します。真の運動は一部の近傍の運動より低く、別の近傍の運動より高くなっています。これは熱い道路における蜃気楼の光線と同じ鞍点の形状です。同じ両端を結ぶ直線でさえ −2.1341 J·s となり、真の運動をはるかに下回ります。その理由は中心への引き戻し力にあります。n 個の山を持つ曲がりの変化は (mT/4)((nπ/T)² − ω²) となり、T が半周期を超えると π/T が ω を下回り、最初の曲がりがひっくり返るのです。この現象を扱ったグレイとテイラーの論文は、「作用が最小ではないとき」という妥当なタイトルが付けられています。彼らは、十分に短い運動に対しては極小となるが、真の極大になることは決してないことを示しています。あらゆる持続時間において成り立つ原理は、作用が停留するということなのです。

ばね 半周期 を押してください。重りは 1 m の位置から反対側の 1 m の位置までちょうど 1 s で移動します。これを一山の形状で 0.2 m 曲げても作用はまったく変化せず 0.0000 J·s であり、どのような大きさの曲がりでも同じ結果になります。二番目のパネルの放物線は平らになっています。この曲げられた運動は、真の運動の近似ではありません。これ自身が真の運動なのです。なぜなら、ばねの周期は振幅の大きさに依存しないため、1 m の位置から押し出された重りは、最初の押し出しがどのようなものであっても半周期後には −1 m に到達するからです。そのようなすべての運動は、同じ時間に同じ作用で同じ両端を結びます。グレイとテイラーは、二番目の端点を最初の端点の「運動学的な焦点（kinetic focus）」と呼んでいます。1.5 s のプリセットが示したように、それを越えると作用は鞍点になります。