空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター

理想的な軌道と空気抵抗の影響を受けた軌道を比較します。

計算例 — 空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター

実際の到達距離	28.0 m
実際の最大高度	9.5 m

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レッスン

理論 — 空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター

飛翔体に空気抵抗を加えると、補正された放物線が得られるのではない——公式が失われる。二乗抵抗とは力 −(k/m)·|v_rel|·v_rel のことで、空気中の運動に逆らう向きに働き、速さの二乗で増える。これが水平方向と鉛直方向の方程式を互いに結びつけ、結合した組には初等的な解が存在しない。このページが飛行を 10 ミリ秒刻みで数値積分するのは、評価すべき式がもう残っていないからだ。

各記号の意味

θ: 打ち出し角。抵抗がなければ最適値はどの初速でもどの質量でも 45°——問題の定数である。抵抗があればそのいずれでもなくなる。この授業の主題はそこにある。
k/m: 抵抗係数を質量で割った量。方程式に現れるのはこの組み合わせだけで、k 単独も m 単独も決して現れない。六つの入力欄のうち二つは、一つの数に付いた二本の取っ手である。
v_rel: 空気に対する速度 v − w。抵抗はこれに働くのであって、対地速度には決して働かない。向かい風と追い風が互いの鏡像にならないのはそのためだ。
R: 到達距離。ページは二つ印字する——閉じた形の放物線から出る R_ideal と、積分から出る R_actual——そしてその差が、空気の取り分である。

公式の導き方

まず空気のない場合から。ここでは二つの軸は互いに口をきかない。水平速度は一定、鉛直位置は時間の放物線で、時間を消去すると R = v₀² sin(2θ)/g が残る。最大化すれば sin(2θ) は 2θ = 90° で最大。何が消えたかに注目してほしい——この条件に v₀ も質量も現れない。だから 45° は、これまで行われたあらゆる打ち出しにとって最良の角度なのだ。結果としてではなく事実として記憶されている理由がこれである。
次に抵抗を加え、軸が独立でなくなる様子を見る。力は −(k/m)·|v_rel|·v_rel であり、|v_rel| は √(v_x² + v_y²)——両方の成分を含む。したがって水平方向の式は上昇の速さに依存し、鉛直方向の式は遠ざかる速さに依存する。この組は非線形で分離を拒み、R の初等的な公式は一つも生き残らない。図の実線は評価されたのではなく積分されたものであり、ページはそれを正直に総和として書いている。
式を読むと一つ目立つことがある：k と m は k/m という形でしか現れない。重いボールとは、薄い空気の中の軽いボールである。k = 0.03、m = 3 とすれば、k = 0.01、m = 1 の軌道と末位まで一致する——「重いボール」プリセットは低抵抗の場合が別名を着ているだけで、質量欄は抵抗欄に言えないことを何一つ言えない。
そしてついに最適値が動く。急角度で打ち上げれば依然として滞空時間は買えるが、抵抗の下では滞空時間は速さで支払われ、前へ運ぶのはその速さである——だから最良の角度は寝る方向へ傾く。さらに速い飛翔体ほど道中で抵抗を溜め込むので、その角度はいまや初速に依存する。以前は決してそうではなかった。このページの既定の抵抗で試すとよい：25 m/s では 45° の代償はほとんどなく、28.0 m に対し 38° 付近で手探りに見つかる 28.5 m。90 m/s では代償は大きく、45° が 65.4 m、30° 前後が 70.8 m を与える。

表示の読み方

二本の曲線と、別々の問いに答える二つの数。破線は同じ打ち出しから空気を取り去ったもの——実線の近似ではなく、別の問題の解——だから両者の間隔がそのまま抵抗の代償として読める。R_ideal はあなたの数を代入した公式として印字される。公式が存在するからだ。R_actual は Σ v_x Δt として印字される。公式が存在しないからだ。抵抗をゼロにすれば両者は同一の物理を記述する——それでもページは 63.7 m に対し 63.5 m と表示する。この 5 分の 1 メートルは空気ではない。積分器自身の誤差であり、どんな差でも物理として読む前に、それがそこにあると知っておく価値がある。

前提: どの高さでも同じ速さで吹く一定の水平風を除いて空気は静止しており、密度は上空まで一様、抵抗係数は速さによって変わらないものとする。質点であること：揚力なし、スピンなし、マグヌス力なし。したがって切れた打球も横に逸れる砲弾も、このモデルが語れる範囲の外にある。
成り立たない場合: 積分は 10 ms の刻みで最大 5000 ステップ——飛行 50 秒——までしか走らず、ページはそれをどこにも書いていない。通常の設定では遠く及ばない：既定の場合は 3 秒足らずで地面に戻る。しかし抵抗を切って強く急角度で撃つと、v₀ = 300 m/s、85°——軌道は飛翔体が地上 2.68 km にあるまま空中で単に途切れ、その下に印字される距離は、その瞬間にたまたま居た場所であって落下点ではない。抵抗はこの限界を引き起こすというより覆い隠している——同じ打ち出しでも k = 0.03 なら 9 秒で地上に戻る。

空気抵抗が放物線の対称性を崩す理由 🖖

空気抵抗は理想的な放物運動の美しい対称性を崩します。抵抗力はv²に比例するため、速度が2倍になると抵抗は4倍になります。終端速度に達すると抵抗が重力と釣り合い、鉛直方向の加速度はゼロになります。実際の弾道表は抵抗・回転・空気密度・風を考慮しますが、理想式はあくまで第一近似にすぎません。

効くのは対気速度、地上速度ではない 🖖

発射体が受ける空気抵抗は、地面に対する速度ではなく、空気に対する速度で決まります。風は空気全体を動かし、抗力は常にその空気に対する運動と逆向きに働きます。だから向かい風では対気速度が上がって抗力が強く効き、追い風では対気速度が下がるため、風のわずかな後押しだけで説明できる以上に遠くまで飛びます。

なぜディンプル付きのボールは遠くまで飛ぶのか 🖖

直感に反する話です。ボール表面を粗くすると抗力が減ることがあります。ゴルフボールのディンプルは流れを薄い乱流境界層に変え、それが表面に長く張り付いてボール後方の低圧の後流(ウェーク)を小さくします。ディンプル付きのボールは、同じように打った滑らかなボールのおよそ2倍飛びます。このシミュレーターの単純な v² 抗力則は抗力係数を一定と仮定するため、速度が上がると Cd が急に下がる『抗力の危機(ドラッグクライシス)』を再現できません。

全プロセスの詳細解説

真空の公式の解63.7 mが28.0 mになる理由 5 ステップ
初速25 m/s、角度45°、空気抵抗係数0.03。真空中の公式では63.7 mとなる。答えが28.0 mになる理由、そして最高高度が到達距離よりもはるかに維持される理由を解き明かせ。
1. まず、空気によって損なわれる前の解答から始める。どちらの真空中の公式も厳密で、1行で導くことができ、この問題における唯一の解析的な拠り所となる。
  
  $R_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{2 5 ^{2} sin 9 0 ^{\circ}}{9.81} = 63.7 m, H_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g} = 15.9 m$
2. 次に、実際の運動方程式を立てる。抗力項は速度ベクトルの逆向きを指すため、その水平成分は鉛直速度に依存し、逆もまた然りとなる。その結果、2つの軸は独立ではなくなり、放物線は成り立たなくなる。
  
  $\ddot{r} = - g \hat{y} - k ∣ \dot{r} ∣ \dot{r} — the drag term couples x and y, so no closed form survives$
3. パネルから2つの損失を割合として読み取る。両者には差があり、その差こそが説明すべき重要な点である。
  
  $R_{actual} = 28.0 m = 0.44 R_{ideal}, H_{actual} = 9.5 m = 0.60 H_{ideal}$
4. 終端速度とは抗力と重力がつり合う速度であり、これを初速と比較することで、運動の初期にどちらの力が支配的であるかが分かる。
  
  $v_{t} = \frac{g}{k} = \frac{9.81}{0.03} = 18.1 m/s < v_{0} = 25 m/s$
5. 抵抗距離 1/k は、空気が速度の大部分を奪う距離である。これを期待していた到達距離と比較する。
  
  $ℓ = \frac{1}{k} = 33.3 m \approx R_{ideal} /2 ⟹ drag is not a correction here, it is the problem$
解答

空気抵抗の長さの尺度が33 mしかないのに、投射は飛距離64 m、高さ16 mを想定しているからです。実際の飛距離は真空中の44%、最高点の高さは60%にとどまります。この二つの値から、摂動としては扱えない領域だとわかります。終端速度√(g/k)は18.1 m/sで、初速度25 m/sを下回ります。つまり、投げ出された直後の球には、重力よりも空気抵抗の影響が強く現れます。また、1/k = 33 mは真空中の飛距離の半分にすぎません。補正を小さく見積もるには、これが飛距離より何倍も大きくなければなりません。頼れる閉形式の解もありません。空気抵抗によって二方向の運動が結び付くため、このパネルでは式への代入ではなく数値積分を行っています。

$drag keeps 44% of the range but 60% of the height$

学習の道すじ

物を投げること

参考文献 (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

42Math チーム · 更新 2026-05-27

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例題

抵抗なし - 抵抗を切ると飛行は 63.5 m で終わり、その横に理想放物線の 63.7 m が印字される。
向かい風 - 向かい風は同じ打ち出しを 14.2 m まで縮める。
追い風 - 同じ風が背後からなら 41.2 m——向かい風のおよそ三倍になる。
重いボール - 質量を三倍にすると同じ球が 43.3 m まで飛ぶ。