薄膜干渉

黒いカードを背景にシャボン玉の膜が流れ落ち、上部は薄く、下部は厚くなります。そこに見える全ての色は、膜が反射する光から計算されたものです。その隣には「ゴースト」を並べています。これは干渉を考慮せず、二つの境界面からの反射を幾何光学的に足し合わせただけのものです。膜をクリックするか厚さを入力して、反射されるスペクトルを確認してみてください。

計算例 — 薄膜干渉

上面単独	2.055%
両面の強度を加算（ゴースト）	4.027%
下面からの光の追加の位相	0.3049 rad (0.0485 周期)
波長 550 nm での膜（全ての反射を波として加算）	0.197%
白色光での膜（視感反射率）	0.196%
白色光でのゴースト	4.025%
色の白色からの距離（CIE u′v′）	0.041
550 nm での4分の1波長	103.0 nm

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レッスン

理論 — 薄膜干渉

薄膜干渉：ある層の二つの面から反射した光は二つの波として戻ってきます。垂直入射で屈折率 n₁、厚さ d の層の場合、2番目の波は δ = 4πn₁d/λ だけ遅れます。各面は振幅 r = (n_a − n_b)/(n_a + n_b) を反射し、これは光がより密度の高い物質へ入るときに負になります。膜内部での全ての多重反射を考慮して波を足し合わせると、反射率 R = (r₀₁² + r_1s² + 2r₀₁r_1s cos δ)/(1 + r₀₁²r_1s² + 2r₀₁r_1s cos δ) が得られます。

各記号の意味

d: 膜の厚さ (nm)
n_1: 対象となる波長での膜の屈折率。水は 550 nm において 1.3347 です。
δ: 下面からの光の遅れ (ラジアン)。2π はちょうど1波長に相当します。
Y: 白色光での視感反射率。反射スペクトルに人間の目の感度で重み付けをしたものであり、完全な白色反射体で 100% となります。

前提: 光が正面から入射していること、観察している領域における膜の厚さが均一であること、そして吸収がないことを前提としています。シャボン膜は水として扱っており、両面の石鹸層はモデル化していません。白色光はCIE標準光源D65を使用しています。

最も薄いシャボン膜は最も暗い 🖖

割れる寸前を押してみてください。膜の上端は厚さ 10 nm の水となり、黒く見えます。水面単独では 550 nm の光を 2.055% 反射し、膜の二つの面を単純に足す幾何光学では 4.027% になると予測されます。しかし実際の膜は 0.197% しか反射せず、たった一つの面の10分の1にも満たないのです。二つの反射はほぼ同じ大きさですが、空気が水に入る上面からの反射波は反転し（r = −0.1434）、水から空気に戻る下面からの反射波は反転しません（+0.1434）。波長よりはるかに薄い膜では、これらの波がほぼ同じ位相で戻ってきて互いに打ち消し合います。膜を厚くすると、下面からの光は δ = 4πn₁d/λ だけ遅れをとります。103.0 nm の4分の1波長になると二つの波は強め合い、膜はゴーストのほぼ2倍である 7.892% を反射します。黒くなる直前の膜が薄暗い青灰色に見えるのは、δ が最も大きくなる短い波長が、最後まで打ち消されずに残るためです。ニュートンはガラスの覆いの中でシャボン玉にこの現象が起きるのを観察しました。「最初はそこの水から反射される光はないと思った」と彼は記し、その後よく見ると、黒い斑点の中にろうそくの火が微かに反射しているのを発見したのです。

厚い膜は再び白くなり、それでも干渉は続いている 🖖

厚さ 3 µm の膜を押してみてください。550 nm では、この膜は 7.635% を反射します。これはどの厚さにおいても到達しうるほぼ最大の値です。それにもかかわらず、白色光での反射率はゴーストの 4.025% に対して 4.013% となり、見た目も同じ灰色になります。スペクトルを見ればその理由がわかります。380 から 780 nm の間に 11 個の反射ピークがあるため、このページで積分している三つの等色関数のそれぞれが複数の明るい縞と暗い縞をまたぐことになり、その合計がゴーストと等しくなるのです。次に緑の打ち消しを押してみてください。206 nm では、550 nm を中心に可視領域に谷が一つきり生じます。これにより緑色が取り除かれ、白色からの距離が 0.256 の紫色が残ります。スケール上で最も鮮やかな色を見せる膜は、この厚さから数ナノメートルの範囲にあります。色を生み出すには、色そのものと同じくらい幅の広いスペクトルの隙間が必要であり、それを作り出せるのは薄膜だけです。約 2 µm からこのページで扱う 5 µm に至るまで、膜の色が白色から 0.005 以上離れることは二度とありません。ニュートンの『光学』第2巻は、すでに他者が観察していた現象として、この記述から始まります。薄い板は「その様々な薄さに応じて」色を示すが、「厚みが増すと非常に透明で無色に見える」と。幾何光学が厚い膜を正しく扱えるのは、白色光が干渉縞を平均化して消し去ってくれるからに過ぎません。単一の波長の光では決してそうはならないのです。

2倍の厚さのコーティングは自ら効果を打ち消す 🖖

コーティング付きレンズを押してみてください。クラウンガラス上の 100 nm のフッ化マグネシウムは、550 nm での反射を 4.239% から 1.247% に減らします。この減少分の一部は、屈折率の変化が緩やかになったことによるものです。幾何光学のように二つの面を足し合わせると 2.754% になります。残りの減少分は打ち消し合いによるものです。どちらの反射も、より密度の高い物質へ入るために波が反転します。そして4分の1波長の層が2番目の波を半周期（δ = 0.5013 周期）遅らせるため、それらは位相がずれて届くのです。ここで2倍の厚さのコーティングを押してみてください。200 nm では遅れが1周期となり、反射波の位相が再び揃います。そのため 550 nm ではむき出しのガラスと同じ 4.239% を反射します。白色光での反射率は、むき出しの 4.24% に対して 4.082% となります。コーティングを厚くすればよいわけではなく、正しい厚さであることが重要なのです。4分の1波長にぴったり合うのは一つの波長だけなので、コーティングされた面は 450 nm で 1.634%、650 nm で 1.418% を反射し、スペクトルの中央よりも両端で反射が大きくなります。写真のコーティング面がかすかに紫色を帯びているのはそのためです。完全に打ち消すには √1.5185 = 1.2323 の屈折率を持つ層が必要です。これを膜の屈折率として入力し、d を結果として得られる4分の1波長 111.6 nm に設定すると、550 nm の反射率は 0.000% に落ちます。カール・ツァイス社は 1935 年 11 月 1 日、真空中でのガラスへの層蒸着に関する特許を出願しました。この出願には、風化した古いレンズの表面が磨かれたガラスよりも透明に見えることにヒントを得た 1904 年のテイラーによるイギリスの特許が先駆として挙げられています。

全プロセスの詳細解説

光を半分にするにはガラス面がいくつ必要か？ 3 ステップ
カメラのレンズにはガラスの面がいくつも連続して並んでいます。反射によって光の半分が失われるには、コーティングなしのN-BK7の面がいくつ必要でしょうか。また、コーティングされた面ではどうでしょうか。反射されずに全ての面を通過する光のみを数えてください。コーティング付きレンズを押すと、むき出しの面とコーティング面の 550 nm での反射率がページに表示されます。

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1. 各面は到達した光の 1 − R を通過させるため、k 個の面は (1 − R)^k を通過させます。これを2分の1に設定します。
  
  $(1 - R)^{k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{ln 2}{- ln ( 1 - R )}$
2. むき出しのガラスの場合、R = 4.239% を用いて計算します。
  
  $k = \frac{0 . 69315}{- ln 0 . 95761} = \frac{0 . 69315}{0 . 043315} = 16.00$
3. コーティングされた面の場合、R = 1.247% を用いて計算します。
  
  $k = \frac{0 . 69315}{- ln 0 . 98753} = \frac{0 . 69315}{0 . 012548} = 55.24$
解答

17面のむき出しの面、または56面のコーティング面。計算上は k = 16.00 と 55.24 になりますが、面は整数でしか存在しません。16面のむき出しの面では 50.01% が通過してしまうため、550 nm の光を半分失うには空気中に8枚ではなく9枚のコーティングなしのレンズ要素が必要になります。10面の場合、むき出しでは 64.8%、コーティングありでは 88.2% が通過します。失われた光が消えてなくなるわけではありません。光は面の間で反射を繰り返し、その一部はヘイズ（かすみ）として写真に写り込みます。ツァイス社の 1935 年の特許では、このネガの曇りを防ぐことをコーティングの第二の理由として挙げています。

$(1 - 0.04239)^{16} = 50 . 01%, (1 - 0.04239)^{17} = 47 . 89%; (1 - 0.01247)^{56} = 49 . 52%$

学習の道すじ

波動光学

参考文献 (3)

Newton's own account of a soap bubble under a glass cover: the coloured rings descending as the water subsides, and the black spot that grows at the top, from which he first thought no light was reflected (Obs. 17); the order of the colours as the bubble thins, the early ones "very dilute and dirty" (Obs. 18); and the opening of the book, that thin plates show colours "according to their various thinness, altho' at a greater thickness they appear very clear and colourless": I. Newton, Opticks: or, A Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light, 4th edition. William Innys, London, 1730. Book II, Part I, opening paragraph and Observations 17–18.
Carl Zeiss's patent on raising the transmission of optical parts with a layer of lower index evaporated onto the glass in a vacuum, applied for on 1 November 1935; it gives Fresnel's reflectance, says that reflected and re-reflected light fogs a photographic negative, names calcium fluoride as the layer, and describes Taylor's British patent of 1904 as its forerunner, prompted by old lenses whose weathered patches looked more transparent: Carl Zeiss, Verfahren zur Erhöhung der Lichtdurchlässigkeit optischer Teile durch Erniedrigung des Brechungsexponenten an den Grenzflächen dieser optischen Teile, German patent DE 685767, filed 1 November 1935, published 23 December 1939.
The CIE 1931 2° colour-matching functions and the spectrum of standard illuminant D65, the two tables every colour on this page is computed from, taken at 5 nm from 380 to 780 nm: CIE, Colour-matching functions of CIE 1931 standard colorimetric observer (dataset CIE_xyz_1931_2deg.csv), 2019, doi:10.25039/CIE.DS.xvudnb9b; and CIE standard illuminant D65 (dataset CIE_std_illum_D65.csv), doi:10.25039/CIE.DS.hjfjmt59. International Commission on Illumination, Vienna.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。