回折限界

開口部の直径、光の波長、そしてある距離にある二つの点光源を設定してください。このページでは、完全で透明な円形開口部が作るそれらの画像を描画します。幾何光学で描かれる二つの点はゴーストとして示され、画像が持つピークが一つか二つかを判定します。

計算例 — 回折限界

一点の画像の第1暗環、θ1	0.0577″
その角度を対象での距離に換算	107.4 m
二点間の角度、α	0.00504″
距離のθ1に対する比率	0.087
中間点θ̄での明るさ（最大ピークに対する割合）	100.00%
二倍の明るさを持つ単一の点との最大差（二点を結ぶ直線上）	0.71%
その距離で画像が保持できる最小の縞模様の周期	88.09 m
開口部の直径に含まれる波長の数	4,363,636

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — 回折限界

回折限界とは、直径 D の開口部が波長 λ の光の下で示すことができる、最も細かい角度のディテールのことです。障害物のない円形開口部を通して見た点光源は、エアリーパターン I = I₀[2J₁(v)/v]² （ただし v = πD sin θ/λ）を作り、その第1暗環は sin θ₁ = 1.21967 λ/D の位置にあります。レイリーの分解能限界によれば、等しい明るさの二つの点が互いの第1暗環の上に位置するとき、それらはちょうど見分けられるとみなされます。このとき、中間の明るさはピークの73.50%に下がります。スパローの基準（1916年）は、それらの間のくぼみがちょうど消える間隔を限界としており、このパターンでは 0.947 λ/D となります。

各記号の意味

D: 開口部の直径：瞳孔、レンズ、鏡など
λ: 光の波長
θ_1: 一点の画像の中心からその第1暗環までの角度、1.21967 λ/D
α: 開口部から見た二点間の角度、s/d
d: 開口部から二点までの距離

成り立たない場合: ハッブルの副鏡はその開口部の中心を遮っており、JWSTの主鏡は18枚の六角形のセグメントで構成されています。そのため、どちらも厳密な意味でのエアリーパターンを作るわけではありません。中心が遮られるとコアがわずかに狭くなり、光が外側の環に移動します。また、セグメントの縁は回折スパイクを追加します。地上の望遠鏡は揺らぐ空気を通して星を観測するため、補償光学で補正しない限り、通常は鏡の回折限界よりもはるかに大きく画像がぼやけてしまいます。

ハッブル宇宙望遠鏡は月着陸船を解像できない 🖖

ハッブルと月着陸船を押してください。「星の画像は点ではなく、一連の明るい環に囲まれた明るい円になります」と、ジョージ・エアリーは1834年11月にケンブリッジ哲学会で読み上げた論文に記し、自身の変数が3.832に達する位置に最初の黒い環を見つけました。現在の表現では、その環は角度 θ₁ = 1.21967 λ/D にあります。ここで1.21967という値は、ベッセル関数 J₁ の最初のゼロ点である3.83171をπで割ったものであり、光の83.78%がその内側に収まります。ハッブルの2.4 mの鏡を障害物のない開口部とし、緑色の550 nmの光で考えると、θ₁ は0.0577″となります。月までの距離384,400 kmでは、それは107.4 mに相当します。月面のあらゆる点はその大きさのぼやけとなり、それよりもずっと近くにある複数の点は一つに融合してしまいます。月着陸船の着陸脚はパッドからパッドまで9.4 mあり、その距離の0.087でしかありません。つまり、船の両側が一つのぼやけの中に収まり、単一のピークを作ります。その余分な光が、ぼやけの明るさの変化としてそもそも認識できるかどうかはコントラストとノイズの問題であり、このページではモデル化していません。回折によって不可能になるのは、着陸船の形を見ることです。2005年にハッブルが撮影したアポロ17号着陸地点の画像に対するNASA自身のキャプションでも、「サッカー場より小さい」地形が捉えられていると主張するにとどまっています。

ぼやけを拡大しても、より大きなぼやけになるだけ 🖖

ハッブルと月着陸船を押してから、同じ条件で8倍に拡大を押すか、拡大スライダーを動かしてください。ぼやけ、その環、そして破線で示された二つのゴースト間の隙間など、すべてが一緒に大きくなります。そのため画像の形は変わらず、依然として一つのピークを持ちます。円形の開口部は、角度にして λ/D よりも細かい模様を通しません。月面にある λd/D（ハッブルの場合は88.09 m）を下回る周期の縞模様は、コントラストが全くない状態、つまり単に薄暗いのではなく完全にゼロの状態で画像に到達します。着陸船の両側が二つのピークを作ることはありません。それらを結ぶ直線上において、画像が二倍の明るさを持つ一点の画像と異なるのは、最大でもピークの0.71%にすぎません。目でぼやけを認識できる拡大率を超えると、それ以上拡大しても新しいものは何も見えません。これが、光学の専門家がそれを「無効拡大」と呼ぶ理由です。

より大きな鏡を持つJWSTは、赤外線ではハッブルよりもぼやける 🖖

この限界は直径 D だけでなく、開口部を波長の数で測った D/λ に依存します。JWSTの18枚のセグメントは約6.5 m幅の単一の鏡として機能し、これはハッブルの2.71倍にあたります。しかし、その観測機器は可視光の赤色端である0.6 µmから赤外線の28.5 µmまでで機能し、宇宙望遠鏡科学研究所（STScI）の文書によれば、2 µm以上の波長で回折限界の画像が得られるとされています。2 µmでは、6.5 mの幅に3,250,000波長が含まれます。一方、ハッブルの2.4 mには緑色の光の4,363,636波長が含まれています。したがって、2 µmでのJWSTの第1暗環は0.0774″となり、ハッブルが緑色光で作る0.0577″よりも1.34倍広くなります。そして、これら二つは1,490 nmで等しくなります。ハッブルが分離できる110 m離れた二点を押し、次にそれらが融合する同じ110 m、JWST（2 µm）を押してみてください。下の表では、同じ比較を人間の目にまで適用しています。3 mmの瞳孔には緑色の光が5,455波長含まれ、その限界は46.1″となります。

全プロセスの詳細解説

着陸船を分離するにはどれくらいの大きさの鏡が必要か？ 3 ステップ
月着陸船の着陸脚の幅は9.4 mです。地球から緑色の550 nmの光で見たとき、着陸船の両側を第1暗環一つ分だけ離して捉えるには、どれほどの大きさの鏡が必要でしょうか。直径の入力欄は10 mまでしかなく、答えには届きません。まずハッブルと月着陸船を押してください。ページには θ₁ と 107.4 m という値が表示されます。

この問題をツールで開く
1. 両側の間隔は α = s/d です。これを θ₁ = 1.21967 λ/D と等しいと置き、D について解きます：
  
  $α = \frac{s}{d} = 1.21967 \frac{λ}{D} \Rightarrow D = \frac{1 . 21967 λ d}{s} = \frac{1 . 21967 \times 550 \times 1 0 ^{- 9} \times 3 . 844 \times 1 0 ^{8}}{9 . 4} = \frac{257 . 86}{9 . 4} = 27.43 m$
2. 同じ計算をこのページ独自の数値を使って行います。ハッブルの月面での限界は107.4 mであり、これは9.4 mの11.4倍です。限界は 1/D に比例するため：
  
  $D = 2.4 m \times \frac{107 . 4 m}{9 . 4 m} = 2.4 m \times 11.4 \approx 27.4 m$
3. 2 µmの赤外線では、D/λ が同じでなければならないため、鏡は λ に比例して大きくなります：
  
  $D_{2 μ m} = 27.43 m \times \frac{2000 nm}{550 nm} = 99.75 m$
解答

約27.4 m、ハッブルの鏡の11.4倍です。2 µmの場合は99.8 mが必要になります。しかしそれでも、着陸船はレイリーの間隔で重なり合う二つのエアリーパターンを作るだけであり、宇宙船の姿が写真として得られるわけではありません。その形を見分けるには、物体をまたぐ複数の解像要素が必要になります。

$D \approx 27.4 m = 11.4 \times D_{Hubble}; D_{2 μ m} \approx 99.8 m$

学習の道すじ

波動光学

参考文献 (3)

Airy's own derivation of the pattern a round object-glass makes of a star: “The image of a star will not be a point but a bright circle surrounded by a series of bright rings”, their sizes “inversely as the aperture”; the central spot at half its light at n = 1.616 and “a black ring, when n = 3,832” (p. 287): G. B. Airy, “On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5, pp. 283–291 (1835; read 24 November 1834).
The Apollo 11 lunar module's size: the descent stage “an octagonal prism 4.2 meters across”, and “the distance between the ends of the footpads on opposite landing legs was 9.4 m”: NASA Space Science Data Coordinated Archive, “Apollo 11 Lunar Module / EASEP”, NSSDCA ID 1969-059C.
JWST's mirror and where it becomes diffraction-limited: the primary is “18 hexagonal segments … which, when properly phased together, act as a single mirror ~6.5 m in diameter”, and “At wavelengths λ > 2 μm, JWST obtains diffraction-limited imaging with a Strehl ratio = 0.8”: Space Telescope Science Institute, JWST User Documentation: “JWST Telescope” and “MIRI Point Spread Functions”.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。