単スリット回折

幅aのスリット、あるいは同じ太さの髪の毛から、Lメートル離れた場所にある壁を考えます。ここでは、遠距離場の近似を使わずに波動光学から壁の上の光の強さを計算し、そのすぐ下に幾何光学が予測する光（スリットと完全に同じ幅の帯）を描きます。スリット幅を操作して、ふたつの理論の違いを観察してみましょう。

計算例 — 単スリット回折

フレネル数（およそ1未満で遠距離場、1より大きいと近距離場）	0.0038
第一暗線の方向	0.532°
遠距離場における中央の帯（第一暗線の間隔）	37.14 mm
計算された回折パターンにおける第一暗線の間隔	37.14 mm
中央の帯がスリット幅の何倍に広がっているか	530.6
中心の明るさ（スリットがない場合の光に対する割合）	0.377%

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レッスン

理論 — 単スリット回折

単スリット回折：幅aのスリットを通り抜けた光は広がり、遠距離場における角度θでの明るさは、β = πa sin θ/λとしてI(0)(sin β/β)²となります。最初の暗線はsin θ = ±λ/aの位置にあるため、距離Lにある壁の上では、暗線に挟まれた中央の帯の幅は2λL/aになります。スリットが遠距離場にあるかどうかはフレネル数N = a²/λLによって決まります。この値が1を大きく下回る場合、光はこの回折パターンを描きます。1を大きく上回る場合、光は幾何光学が予測する位置にほぼそのまま届きます。

各記号の意味

a: スリットの幅、または髪の毛の太さ
λ: 光の波長
L: スリットから壁までの距離
N: フレネル数a²/λL（壁にどのようなパターンが現れるかを示す指標）

前提: 長くまっすぐなスリットに均一な光が正面から当たっており、パターンが壁の横方向にのみ変化すること。また、角度が十分に小さいこと。髪の毛については、直径1 mmのレーザー光が髪の毛の幅全体にわたって均一であると仮定しています。太さ70 µmの髪の毛の端でも、その誤差は0.5%以内に収まります。

細いスリットを狭めると光はさらに広がる 🖖

70 µmのスリットを押してみてください。幾何光学によれば、スリットを通り抜けた光はそれ自体と同じ幅の0.070 mmの帯になるはずです。しかし、2 m離れた壁に映るパターンの中心両側の暗線の間隔は37.14 mmで、スリット幅の530.6倍にも広がっています。次に幅を半分にするを押すと、間隔は74.29 mmになります。帯の幅は2λL/aで表されるため、aを半分にすると帯の幅は2倍になるのです。第一暗線ができるのは、スリットの上半分から出る光と下半分から出る光が、ちょうど半波長分だけずれてペアごとに打ち消し合う場所（a sin θ = λ）です。スリットが狭くなればなるほど、半波長のずれを生み出すためにより急な角度が必要になります。また、光は広がる以上に暗くなります。通り抜ける光の量が半分になり、それが2倍の幅に広がるため、中心の明るさは0.377%から4分の1の0.094%へと落ち込みます。この法則は細いスリットで成り立ちますが、具体的にはフレネル数a²/λLが2を下回っているとき（2 m離れた場所での赤色光ならスリット幅1.61 mm未満）に、スリットを狭めるほど光の帯が広がるようになります。幅70 µmのときのフレネル数は0.0038です。ここで5 mmのスリットを押してみてください。フレネル数は19.2308となり、縁の波打ちを除けば、光は幾何光学の予測通りに届きます。この状態では、幾何光学の予想通り、スリットを狭めると光も狭くなります。このふたつの極端な状態の間で、光の帯の幅はある時点で最小になります。望遠鏡のような円形の開口部でも、二次元でまったく同じことが起きます。これが次ページのテーマである回折限界です。

副極大は暗線と暗線のちょうど中間にはない 🖖

70 µmのスリットを押し、続いて10倍に強調を押してください。表示が掛け合わされ、かすかな副極大が見えるようになります。ここでは暗線は18.57 mmごとに等間隔に並んでおり、β = πax/λLとすると、β = π, 2π, 3πの位置に現れます。明るい副極大はそのちょうど中間に来ると思うのが自然ですが、実際にはそうなりません。最初の副極大は中心から間隔の1.5倍ではなく1.4303倍の距離にあり、二番目は2.4590、三番目は3.4709の位置にあります。中間点に近づこうとはしますが、決して到達しません。明るさは(sin β/β)²で表されます。sin²の部分は確かに中間点で最大になりますが、1/β²の部分はその位置でも減少し続けているため、各ピークは中心に向かって、つまりtan β = βとなる位置へと引き戻されるのです。最初の副極大の明るさは中心の4.719%（約21分の1）であり、二番目は1.648%、三番目は0.834%です。仮に最初の副極大がちょうど中間にあるとすれば1/(π²·1.5²) = 4.503%になります。OpenStaxの『University Physics』ではβ = 3π/2のときに最大値をとるとしてこの数値を算出していますが、実際のピークはより高く、より中心に近い場所にあります。すべての副極大を合わせても、そこに含まれる光は全体の10分の1にも満たず、90.28%の光は中央の帯に集中しています。結果の下にある表には、現在のスリットにおけるそれぞれの値がまとめられています。

髪の毛はスリットと同じパターンを描く 🖖

70 µmの髪の毛を押してください。幾何光学によれば、不透明な細長い帯は幅0.070 mmの影を落とすだけで、それ以上のことは起こりません。しかし現実には、レーザー自身の明るいスポットの両側にある暗線は37.14 mm離れており、70 µmのスリットとまったく同じパターンを描きます。同じ幅のスリットと帯を組み合わせると光を完全に通すことになるため、それぞれが通過させる波を足し合わせると元のレーザー光に戻ります。壁の上で直径2 mmほどのレーザー光のスポットから外れた場所では、元のレーザー光は届いていないため暗闇です。したがって、髪の毛を通った波とスリットを通った波は大きさが等しく符号が逆になり、その結果として明るさはまったく同じになります。1837年にバビネは、太陽や月の周りに見える色付きの輪（光冠）を説明する際に、これを次のように表現しました。視線の近く（ただし中心から外れた位置）に置かれた小さな不透明な物体がもたらす効果は、「まったく同じ形の開口部がもたらす効果と完全に同じ（"sera exactement le même que celui d'une ouverture toute pareille"）」になります。これが、レーザーポインターを使って髪の毛の太さを測る原理です。このページでは指定した太さの髪の毛から暗線の間隔を求めていますが、例題ではこれを逆向きに解いています。

全プロセスの詳細解説

レーザーポインターで髪の毛の太さを測る 3 ステップ
波長650 nmの赤色レーザーポインターの先端に髪の毛を貼り付け、2 m離れた壁に照射します。明るいスポットの両側にある暗線の間隔を1 mm単位の目盛りがついた定規で測ると、31.2 mmでした。髪の毛の太さはどのくらいでしょうか。また、その精度はどの程度ですか。まず70 µmの髪の毛を押してみてください。このページでは、同じ距離にある70 µmの髪の毛による暗線の間隔を計算できます。

この問題をツールで開く
1. 髪の毛の暗線はスリットと同じく2λL/aの間隔になるため、太さはa = 2λL/gap（gapは暗線の間隔）で求められます。
  
  $a = \frac{2 λ L}{gap} = \frac{2 \times 650 \times 1 0 ^{- 9} m \times 2 m}{0 . 0312 m} = 83.33 μ m$
2. 暗線の間隔は1/aに比例するため、このページの数値を使って比率から求めることもできます。
  
  $a = 70 μ m \times \frac{37 . 14 mm}{31 . 2 mm} = 83.33 μ m$
3. 31.2 ± 1 mmという暗線の間隔から、太さの範囲は次のように絞り込めます。
  
  $\frac{2 λ L}{32 . 2 mm} = 80.75 μ m, \frac{2 λ L}{30 . 2 mm} = 86.09 μ m$
解答

およそ83 µm、誤差は±3 µmほどです。 31 mmの測定に対して1 mmのズレは約3%の誤差を意味し、それがそのまま太さの誤差に直結します。髪の毛を選んだ状態で幅に83.3と入力すると、計算結果として31.21 mmが表示されます。壁をさらに離すと暗線の間隔が広がり、相対的な誤差は小さくなります。同じ髪の毛でも、壁まで4 mの距離なら間隔は62.4 mmになります。

$a = 83 \pm 3 μ m; L = 4 m : gap = \frac{2 \times 650 \times 1 0 ^{- 9} \times 4}{83 . 33 \times 1 0 ^{- 6}} = 62.4 mm$

学習の道すじ

波動光学

参考文献 (3)

Babinet's statement of the principle, in his memoir on coronae, the coloured rings round the Sun and the Moon: a small opaque body placed near the line from a luminous point to the eye, but off it, has an effect "exactement le même que celui d'une ouverture toute pareille", exactly that of an identical opening, so that it gives as much light as it seems to take away; with the explanation from interference and the colours of spider threads and thin metal wires among its applications: M. Babinet (as the Comptes rendus print him), Mémoires d'optique météorologique, II: Sur les couronnes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 4, 638–647 (1837); the principle on pp. 643–644.
The single-slit intensity (sin β/β)² with β = πa sin θ/λ, the minima at a sin θ = mλ, and the textbook's estimate of the first side maximum at β = 3π/2, I₁ ≈ 0.045 I₀, which the page's second insight block measures against the true peak: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 3. OpenStax, 2016. Section 4.2, Intensity in Single-Slit Diffraction.
The Fresnel integrals C(z) = ∫₀ᶻ cos(½πt²) dt and S(z) = ∫₀ᶻ sin(½πt²) dt, and their limits of ½, in the convention the page's computation uses: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §7.2(iii) Fresnel Integrals. National Institute of Standards and Technology, release of 2026-09-15.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。