回折格子

格子の 1 mm 当たりの線数、光の波長、光が当たる線の本数、スクリーンまでの距離を設定してください。現れるすべての次数について、位置と鋭さを計算します。第 2 の波長を加えれば、二本の線を分離できる最小の次数も求められます。

計算例 — 回折格子

格子間隔	3.333 µm
波長に対する格子間隔	6.266
中心の片側に現れる次数	6
1 次光の角度	9.18°
スクリーン上の 1 次光	161.7 mm
小角近似による同じ位置	159.6 mm
小角近似による不足分	1.28%
1 次光：ピークから最初の暗線まで	0.01544°

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レッスン

理論 — 回折格子

回折格子とは、間隔 d で多数の平行線を刻み、光を透過または反射させる面です。隣り合う線から角度 θ の方向へ出た光には d sin θ の光路差が生じます。すべての線からの波が同位相で到達して明るくなるのは、次数と呼ばれる整数 m に対して d sin θ = mλ を満たす方向だけです。それ以外の方向では、N 本の線からの寄与がほぼ完全に打ち消し合います。各明線の隣にある最初の暗線は、わずか λ/(N d cos θ) ほど離れた位置にあります。二波長が別々の線として現れるのは、分解能 R = mN が λ/Δλ 以上のときです。

各記号の意味

d: 隣り合う線の間隔。1 mm を 1 mm 当たりの線数で割った値
λ: 光の波長。格子を出た後の空気中での値
m: 次数を表す整数。m = 0 は直進光で、存在するのは mλ < d を満たす次数だけ
N: 光が実際に覆う線の本数。格子全体に刻まれた線の総数ではない
R: 分解能 mN。その次数が分離できる最小波長差は λ/R

前提: 遠方の光源から単一波長の光が垂直に入射し、スクリーンも十分遠くにあるため、どの線から出た波も同じ角度で進むものとします。各線は十分に細く、その光は前方の半空間全体に広がるので、すべての次数の明るさは等しいとします。照らされた N 本の線には、どれも同じ強さの光が当たります。ディスクのような反射型回折格子も、垂直入射なら透過型と同じ式に従います。
成り立たない場合: 実際の線には幅 a があり、一本の線から出る光そのものが単スリット回折像を作ります。そのため高次光ほど暗くなり、単スリットの零点と重なる次数は消えます。a = d/2 なら偶数次はすべて欠けます。光が角度 θᵢ で入射すると、条件は d(sin θᵢ + sin θ) = mλ となります。かすめるような角度で入射すれば、2d までの波長が回折できるので、Blu-ray ディスクも傾けて光を当てると色が見えます。また、有限の幅をもつ光束では中央付近の線ほど強く照らされ、次数の位置は変わらないものの、サイドローブはなだらかになります。

スリットが二本でも六百本でも、1 次光は 9.18° 🖖

二重スリット、緑色光を押し、続いて300 本/mm、600 本照射を押してください。間隔は同じなので、角度も変わりません。どちらも 1 次光は 9.18°、6 次光は 73.26° に現れます。変わるのは線の幅です。二重スリットでは、明線のピークから最初の暗線までが 4.607°。600 本なら 0.01544° となり、298.4 分の 1 に狭まります。角度を決めるのは d sin θ = mλ だけです。隣り合う線から出た光の光路差が波長の整数倍になる条件であり、N は含まれません。N が決めるのは、その角度から外れたときに波の位相がどれほど速くずれるかです。光源が 600 本あれば、約 λ/(Nd cos θ) ずれるだけで完全に打ち消し合います。つまり教材用の回折格子は、二重スリットの明線を細く鋭い線にしたものと考えられます。「1 mm 当たりの線数を増やす」ことと「照らす線の本数を増やす」ことは別です。前者は各次数の位置を動かし、後者は線を細く明るくします。

赤色光では CD に二つ、DVD に一つ、Blu-ray ディスクには次数が現れない 🖖

次数が存在するのは mλ が d より小さい範囲だけなので、格子が細かいほど現れる次数は減ります。トラック間隔 1.6 µm の CD に波長 650 nm の赤色光を当てると、23.97° と 54.34° に二つの次数が現れます。2 次光の角度は 1 次光の 2 倍である 47.94° にはなりません。等間隔に増えるのは角度ではなく、その正弦である 0.4063 と 0.8125 です。間隔 0.740 µm の DVD では、61.45° の 1 次光だけが現れます。Blu-ray ディスクのトラック間隔は 0.32 µm。可視光のどの波長よりも短く、読み取りに使う波長 405 nm の紫色レーザーよりさえ短いため、垂直に入射した光には進むべき次数がなく、下の表にも「なし」と表示されます。この計算から、多くの生徒が最初に習う式の限界もわかります。二重スリットでは角度がごく小さいので y = mλL/d で十分です。しかし CD の 1 次光について、1 m 先のスクリーン上の位置をこの式で求めると 406.3 mm なのに、実際には 444.6 mm です。回折格子のように角度が大きい場合は y = L tan θ を使います。

ナトリウム二重線は 1 次では分かれず、2 次で分かれる 🖖

ナトリウムの二本の黄色い線は 588.9950 nm と 589.5924 nm で、波長差は 0.5974 nm です。レイリーの判定基準では、一方のピークが他方の最初の零点以遠に来るとき、二本の線を分離できたとみなします。回折格子では、これは分解能 R = mN となります。この二重線に必要な値は 986.4 です。ナトリウム二重線を押してください。格子は 600 本/mm、そのうち 500 本が照らされています。1 次光では R は 500。二つのピークの間隔は 0.02196° ですが、各ピークから最初の零点までの幅は 0.04328° なので、ぼやけた一本の線に見えます。同じ格子の 2 次光では R は 1,000。ピーク間隔は 0.05809°、各ピークから最初の零点までの幅は 0.05722° で、ぎりぎり二本に分かれます。R の式に格子間隔は現れません。同じ 500 本を照らしたまま格子を細かくすると、同じ次数で二本の間隔は広がりますが、各ピークも同じ割合で広がるため、分離能力は変わりません。1 次光でこの二重線を分けるには、格子の種類によらず、光が 987 本の線を覆う必要があります。

全プロセスの詳細解説

白色光のどの次数が重なるか 5 ステップ
400 nm から 700 nm の白色光を、1 mm 当たり 300 本の格子に垂直に入射させます。各次数のスペクトルはどこからどこまで広がり、どの次数どうしが重なるでしょうか。格子を細かくすれば重なりを防げるでしょうか。最初の段階を確かめるには、300 本/mm、600 本照射を押してください。

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1. 格子間隔は 1 mm を 300 で割った値です。画面には次のように表示されます。
  
  $d = \frac{1 mm}{300} = 3.333 μ m = 3333.3 nm$
2. 1 次スペクトルは、紫色光が d sin θ = λ を満たす角度から、赤色光が満たす角度まで広がります。
  
  $m = 1 : arcsin \frac{400}{3333 . 3} = 6.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{700}{3333 . 3} = 12.1 2^{\circ}$
3. 2 次スペクトルは 13.89° から 24.83° までなので、1 次との間には明瞭な空白があります。
  
  $m = 2 : arcsin \frac{800}{3333 . 3} = 13.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{1400}{3333 . 3} = 24.8 3^{\circ}, 12.1 2^{\circ} < 13.8 9^{\circ}$
4. 3 次スペクトルは 21.10° から始まり、2 次スペクトルが終わる前に重なります。3 次の紫色光が届く位置では、3 × 400 = 2 × 600 なので、2 次の 600 nm の橙色光も現れます。
  
  $m = 3 : arcsin \frac{1200}{3333 . 3} = 21.1 0^{\circ} < 24.8 3^{\circ}, 3 \times 400 nm = 2 \times 600 nm$
5. m 次の赤色端の波長に m を掛けた値が、m + 1 次の紫色端の波長に m + 1 を掛けた値より大きいと、両者は重なります。この条件から格子間隔 d は消えます。
  
  $m \times 700 > (m + 1) \times 400 ⟺ 300 m > 400 ⟺ m > \frac{4}{3}$
解答

1 次スペクトルは 6.89° から 12.12° までで、他の次数とは重なりません。2 次以降は、どのスペクトルも次の次数と重なります。2 次の赤色端は 24.83°、3 次の始まりは 21.10° です。条件 m·700 > (m + 1)·400 に d が含まれないため、格子を替えても重なりそのものは解消できません。格子を細かくすると各次数の間隔は広がり、現れる次数は減ります。3 次光が存在できないほど細かくなれば、初めて 2 次光は重なる相手を失います。可視光の波長域が一オクターブ未満で、700/400 = 1.75 に収まるため、1 次光だけは単独で現れます。高次光を利用する分光器では、隣接する次数の光を遮るため、回折格子の前に次数選別フィルターを置きます。

$\frac{700}{400} = 1.75 < 2 \Rightarrow m = 1 ✓; m \geq 2 : m \times 700 > (m + 1) \times 400 \forall d$

参考文献 (3)

The resolving power of a grating, R = mN with N the number of lines illuminated, from the Rayleigh criterion applied to the diffraction maxima, and the sodium doublet as the standard benchmark: R. Nave, "Resolvance of Grating." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
The two yellow lines of neutral sodium, the D lines, at 5889.950 and 5895.924 Å in air, which the sodium preset uses: J. E. Sansonetti and W. C. Martin, "Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data", NIST Standard Reference Database 108, table of Strong Lines of Sodium (Na). National Institute of Standards and Technology.
The DVD standard, which fixes the track pitch at 0.74 µm, the spacing that makes a DVD a grating with room for only one order of red light: Ecma International, Standard ECMA-267, "120 mm DVD - Read-Only Disk", 3rd edition, April 2001.

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