アラゴの斑点

不透明な円盤、円孔、またはゾーンプレートを選び、波長とスクリーンまでの距離を指定してください。このページでは、スクリーン上の光をフレネル回折によってリングごとに計算し、障害物の上にフレネルゾーンを描画し、光線光学による答えを破線のゴーストとして残します。

計算例 — アラゴの斑点

この距離における第1フレネルゾーンの半径	0.5626 mm
障害物が覆うフレネルゾーンの数 N	3.160
中心、フレネルの閉じた式、× 入射光	1.000
中心、フレネルの数値積分、× 入射光	1.000
中心、厳密なスカラー理論、× 入射光	0.999996
中心、角半径 0 mrad の光源、× 入射光	1.000
中心から外側に向かう明るさの最初の極小値、完全な積分による（括弧内は深い影の公式）	0.1205 mm

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レッスン

理論 — アラゴの斑点

ある平面の背後zの距離にある点から見たとき、その平面はフレネルゾーンと呼ばれるリングに分割されます。その縁はr_n = √(nλz)にあり、各リングからの光は前のものから半波長遅れて到達します。半径aの円盤または円孔は、そのうちのN = a²/λz個を覆います。フレネルの理論によれば、不透明な円盤の影の中心は、あらゆるNに対して入射光と完全に同じ明るさになります。これがアラゴの斑点（ポアソンの斑点とも呼ばれます）です。円孔を通る光の中心は入射光の4 sin²(πN/2)倍となり、Nが偶数のときは黒くなります。ゾーンプレートはゾーンを一つおきに遮り、光をf = r₁²/λに集めます。

各記号の意味

a: 円盤または円孔の半径
z: そこからスクリーンまでの距離
λ: 波長
N: a²/λz、円盤または円孔が覆うフレネルゾーンの数
r_n: n番目のゾーンの外縁、√(nλz)（ゾーンプレート上ではr₁√n）

成り立たない場合: フレネルの理論は、光が小さな角度でスクリーンに到達することを前提としています。厳密なスカラー理論では、影の中心は入射光のz²/(z² + a²)の明るさになります。半メートル離れたアラゴのスクリーンでは0.999996ですが、z = 2aでは0.8、z = aでは半分になります。フレネルも同様の条件を述べており、この定理は「過度の傾斜が生じない限り（tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité）」成り立つとしています。

影の中心は明るい 🖖

アラゴの2 mmスクリーンを押してください。光線光学は黒い円、つまり破線のゴーストを描きます。計算された影は暗く、斑点から縁までの距離の九割まではどこも入射光の五分の一未満ですが、その正確な中心では1.000を示します。つまり、円盤が存在しないかのような明るさです。ポアソンは、科学アカデミーの1818年の賞に応募したフレネルの論文の積分の中にこれを発見し、反論の根拠として提示しました。1819年3月15日に読まれたアラゴの報告書には「観察は計算を完全に裏付けた（l'observation a parfaitement confirmé le calcul）」と記されており、フレネルは、幅2ミリメートルのスクリーンの後ろでそれを観察した功績をアラゴに帰しています。はめ込み図はその理由を示しています。スクリーンの中心から見ると、円盤の平面はフレネルゾーンに分割されます。これは縁が√(nλz)にあるリングであり、各リングからの光は前のリングから半波長遅れて到達します。円盤はその最初の3.160個を遮りますが、光が小さな角度で回折する限り、円盤の外側にあるものはすべて、円盤の大きさや距離に関係なく、足し合わせると入射光と完全に同じ明るさになります。下の表は5 cmと1 mの距離で半径を0.5から5 mmまで変化させたものですが、数値積分は毎回1.0000を与えます。フレネルは、この結果は波長に依存しないため、白色光では斑点も白くなるはずだと付け加えました。同じ設定で白色光を押してください。その色は入射光とΔu′v′ = 0.0000しか違いません。ポアソンも気付いていたように、円孔の場合は異なります。ポアソンの第2のケース：円孔を押してください。赤い光では中心が黒く、白色光では青くなります。

斑点には点光源と真の円が必要 🖖

太陽光による照明を押してください。光源の各点はそれぞれ独自のパターンを投影し、それが角度のz倍だけ横にずれており、このページはそれらすべてを足し合わせます。半径4.65 mradという太陽の大きさの光源を使うと、中心は1.000から0.018に下がります。この斑点は光源の小さな像であり、単一の点からは半径約0.383 λz/aの広がりを持ちます。そのため、角半径が0.383 λ/aに近づく光源はそれをぼやかして消してしまいます。2 mmの円盤の後ろでは、光源の半径が0.169 mrad未満である間だけ、斑点はその高さの半分を保ちます。これは一メートル先にある幅0.34 mmのピンホールであり、太陽の27分の1の小ささです。1723年、マラルディは小さな穴を通して暗い部屋に太陽光を入れ、25ピエ（約8 m）離れた場所に直径一リーニュ（約2.3 mm）の球を吊るし、その影の中に「非常に明るい円形の領域（au milieu une aire circulaire fort claire）」を見ました。これは0.383 λz/aが示す通り、小さな球の後ろほど大きくなりました。彼はこれを、光が球の周りを流れているためだと説明しました。縁は光源と同じくらい重要です。縁からの光は位相πr²/λzで中心に到達するため、縁が歪んでいるとその位相が乱れます。どれほど影響するかは誤差の分布によります。誤差が二乗平均平方根σのベル曲線のように散らばっている場合、斑点はexp(−(2πaσ/λz)²)として減少します。アラゴのスクリーンが半メートル離れている場合、σ = 42 µmで半分に落ちます。幅60 µm、粗さ約300 nmの円盤の後ろでは、重水素分子のビームが入射光の約百分の一の斑点を生み出しました。

一つおきにゾーンを遮ると影はレンズになる 🖖

ゾーンプレート、赤色焦点を押してください。それ自体では、一つのフレネルゾーンは中心に入射光の二倍の振幅を送りますが、隣り合うゾーンは逆の位相で到達します。これが、開いている平面全体で最初のゾーン単独の振幅の半分しか得られない理由です。偶数番目のゾーンを遮ると、奇数番目のゾーンはすべて位相が揃って到達します。十個の開いたゾーンは入射光の(2 × 10)² = 400倍を与え、積分では0.3949 mの距離で399.999を与えます。縁r_n = r₁√nはプレートに刻まれているため、波長に反比例する距離f = r₁²/λでのみフレネルゾーンと一対一で一致します。赤い650 nmの光では0.3846 m、青い450 nmでは0.5556 mとなり、1.44倍遠くなります。ガラスのレンズは逆の働きをし、青を赤よりも近い焦点に集めます。下のパネルには、f/3、f/5、f/7の位置にも同じ高さのピークがあります。ここでは、開いている各リングがそれぞれ三つ、五つ、七つのフレネルゾーンを含んでおり、依然として奇数番目が偶数番目を上回っています。スクリーンを動かさずにλを450に設定すると、中心は0.127に下がります。ゾーンプレートは通常J. L. ソレ（1875年）の功績とされていますが、R. W. ウッドの『物理光学（Physical Optics）』には、ゾーンプレートについて記述した1871年4月11日のレイリーのノートの記述が掲載されています。

全プロセスの詳細解説

壁から五メートル離れた2 cmの円盤 3 ステップ
2 cmの円盤が壁から5 m離れて置かれ、633 nmのレーザーで照らされています。これはいくつのゾーンを覆い、斑点の幅はどのくらいで、斑点が半分の明るさを失う前に、縁はベル曲線のように散らばる誤差に対してどの程度滑らかである必要があるでしょうか。半径フィールドは5 mmまでしかなく、この円盤には足りません。最初にアラゴの2 mmスクリーンを押してください。距離が十分の一で大きさが十分の一の円盤について、斑点の最初の極小値である0.1205 mmが表示されます。

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1. 覆うゾーンの数 N = a²/λz：
  
  $N = \frac{a ^{2}}{λ z} = \frac{( 0 . 01 m ) ^{2}}{633 \times 1 0 ^{- 9} m \times 5 m} = 31.6$
2. 深い影の中では、斑点の最初の極小値までの半径は0.38274 λz/aであり、このλz/aは半メートル離れた2 mmのスクリーンと同じです：
  
  $ρ_{0} = 0.38274 \frac{λ z}{a} = 0.38274 \times \frac{633 \times 1 0 ^{- 9} \times 5}{0 . 01} m = 0.38274 \times 316.5 μ m = 0.1211 mm$
3. 斑点を半分にする縁の誤差は、exp(−(2πaσ/λz)²) = ½を解くことで求まります：
  
  $⟨ e^{i (2 π a / λ z) δ} ⟩^{2} = δ \sim N (0, σ^{2}) e^{- (2 π aσ / λ z)^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow σ = \frac{ln 2}{2 π} \frac{λ z}{a} = 0.1325 \times 316.5 μ m = 41.9 μ m$
解答

31.6ゾーン、半径0.1211 mmの斑点、そして二乗平均平方根で42 µmの正確な縁です。深い影の公式は、aとzにはλz/aを通してのみ依存するため、2 mmスクリーンにも同じ0.1211 mmを与えます。このページの完全な積分は、3.16ゾーンがまだ深い影ではないため、そのスクリーンの最初の極小値を0.1205 mmとしています。十倍のゾーンを持つ2 cmの円盤の後ろでは、完全な積分と公式は小数点以下四桁まで一致します。縁に対する許容誤差もλz/aによって決まるため、斑点の周囲の影がはるかに暗くなっているにもかかわらず、条件が厳しくなることはありません。

$N = 31.6, ρ_{0} = 0.1211 mm, σ_{1/2} = 41.9 μ m$

学習の道すじ

波動光学

参考文献 (3)

Arago's report on the 1818 diffraction prize, read on 15 March 1819: “M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait … être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas … l'observation a parfaitement confirmé le calcul” (No. XIII, p. 236); and Fresnel's own note: the theorem holds whatever the screen's diameter and distance “tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité”, for every colour, so the point must be white in white light, and “M. Arago a vérifié [ce résultat] sur l'ombre d'un écran de 2 millimètres de diamètre” (No. XIV, Note I, p. 369): A. Fresnel, Œuvres complètes, tome I, ed. H. de Senarmont, É. Verdet and L. Fresnel. Imprimerie impériale, Paris, 1866. No. XIII (Arago's report, pp. 229–246) and No. XIV, Note I (pp. 365–369).
Why a real spot falls short: in the wave picture the spot “has intensity equal to the undisturbed wave front”, but “it is necessary to include disc-edge roughness to account for the intensity variation in experimental Poisson spot measurements”; their 2009 deuterium experiment used a disc of radius 30 µm with an edge roughness of about 300 nm and gave a spot “about a factor of 100 less than the undisturbed wave front”: T. Reisinger, G. Bracco and B. Holst, “Particle–wave discrimination in Poisson spot experiments”, New Journal of Physics 13, 065016 (2011).
The zone plate's history: “usually attributed to Soret, though Lord Rayleigh constructed one four years previously, as shown by an entry in his notebook”, with the entry of 11 April 1871 quoted (“The experiment of blocking out the odd Huygens zones so as to increase the light at centre succeeded very well”): R. W. Wood, Physical Optics, 3rd edition. Macmillan, New York, 1934. pp. 37–38.

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