タンクの排水とトリチェリの減衰

直径300 mmの樽に水深1.00 mまで水を満たし、底に直径10 mmの孔を開けます。空になるまでどのくらいかかりますか。また、その時間のうち、残りの半分の水を排出するのにどれくらいの時間が費やされるでしょうか。

1. この問題は、ふたつの断面積からすべて導くことができます。樽の断面積は、水位一ミリメートルが何リットルに相当するかを教えてくれます。流出孔の断面積は、その水がどれほどの速さで流れ出るかを決めるものです。

   $$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0.30{)}^2}{4}=0.0707{\mathrm{m}}^2,a=\frac{\pi (0.010{)}^2}{4}=7.85\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$$

2. 孔から流れ出る速さはやはりトリチェリの法則に従い、その上にある残りの水深で決まります。水が外に出る際、水流は孔の面積の約62%まで収縮するため、ここで流量係数を用います。流速に孔の面積を掛けて毎秒の体積を求め、それを樽の断面積で割ると、水位が下がる速さが得られます。

   $$\frac{dh}{dt}=-\frac{C_{d}a\sqrt{2gh}}{A}$$

3. 両辺に水深が含まれるため、変数を分離して満水から空になるまで積分します。この問題に登場する微積分はこれだけであり、ここから下にあるすべての式の形が導かれます。

   $${\int }_H^0\frac{dh}{\sqrt{h}}=-\frac{C_{d}a\sqrt{2g}}{A}{\int }_0^{T}dt⟹2\sqrt{H}=\frac{C_{d}a\sqrt{2g}}{A}T$$

4. 式を整理すると、排水完了までの時間が求まります。ここに数値を代入します。

   $$T=\frac{A}{C_{d}a}\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{0.0707}{0.62\times 7.85\times 10^{-5}}\sqrt{\frac{2\times 1.00}{9.81}}=655.4\mathrm{s}$$

5. 同じ積分をゼロではなく水深 h で止め、式を変形すると、任意の時刻における水位が得られます。これは放物線になります。時刻 T にゼロへ達し、その後はゼロにとどまります。コンデンサの放電が完全に終わることはありません。しかし、樽は空になります。最後の水も、最後の水深による圧力で押し出されるからです。

   $$h(t)=H{\left(1-\frac{t}{T}\right)}^2$$

6. 水位を半分として時間を解いてみましょう。答えは T の半分にはなりません。

   $$\frac{H}{2}=H{\left(1-\frac{t}{T}\right)}^2⟹\frac{t}{T}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}=0.293$$

7. 上半分は全体の29.3%の時間で排出され、残りの70.7%の時間は下半分に費やされます。この比率には、水深も直径も、重力も流量係数も一切関与しません。

   $$\frac{T-t_{1/2}}{t_{1/2}}=\frac{1/\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}=2.414$$

8. 時間 T に影響を与える水についての変数は、H の平方根だけです。したがって、同じ樽に2.00 mまで水を満たしても、待ち時間は二倍にはなりません。時間は1.414倍になります。

   $$\frac{T(2.00)}{T(1.00)}=\sqrt{\frac{2.00}{1.00}}=1.414⟹T=926.9\mathrm{s}$$