熱伝導方程式

初期温度分布（グラフ上に直接描くことも可能です）と材質を選んでください。棒の両端は 0 °C に保たれています。このページでは熱伝導方程式を厳密に解いて時間を進めます。最初の温度分布はうっすらと残してあります。

計算例 — 熱伝導方程式

経過時間	432.2 秒
第1モードが 1/e に減衰する時間	875.7 秒
現在の第1モードの高さ	38.9 °C
中心温度	39.4 °C
最高温度の地点	0.500 m で 39.4 °C
分布と第1モードの最大差（ピークに対する割合）	1.27%
左側4分の1地点と右側4分の1地点の温度差	0.0 °C
棒に残っている熱量（初期値に対する割合）	73.91%

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レッスン

理論 — 熱伝導方程式

熱伝導方程式 ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² は、ある点の温度が変化する速さは、その点における温度分布の曲率によって決まるということを示しています。つまり、周囲の平均よりも冷たい点は温まり、熱い点は冷えるということです。熱拡散率 κ = k/(ρc_p) は、熱伝導率を単位体積あたりの熱容量で割ったものです。両端が 0 に保たれた長さ L の棒において、初期温度分布 f(x) から導かれる解は u = Σ b_k sin(kπx/L) e^{−k²π²κt/L²} となります。ここで b_k は棒全体にわたる積分 b_k = (2/L) ∫ f(x) sin(kπx/L) dx によって求められます。

各記号の意味

u: 位置 x と時間 t における温度（°C）
κ: 熱拡散率（m²/s）。銅では 1.157 × 10⁻⁴、炭素鋼では 1.17 × 10⁻⁵
τ: κt/L²、方程式が測る時間。同じ初期分布から始まった二つの棒は、同じ τ において同じ形状になります
b_k: 初期温度分布から計算される、正弦波モード k の初期の振幅

熱い棒は、まず鋭い部分から冷えていく 🖖

中央3分の1、銅を押してください。破線で示されたうっすらとした影が、垂直の壁を持つ 100 °C のブロックから始まった棒の初期状態です。どのような初期温度分布も、両端でゼロになる正弦波モードの和として表すことができます。モード k は k 個の山を持ち、その大きさは下の表の通りです（b₁ = 63.662、b₃ = −42.441、b₅ = 12.732）。それぞれのモードは e^{−k²π²κt/L²} という独自の時計に従って減衰するため、モード 3 はモード 1 の9倍、モード 5 は25倍の速さで消えていきます。垂直の壁はこうした減衰の速いモードから構成されているため、真っ先に崩れていくのです。1メートルの銅で 7.2 分が経過して τ = κt/L² = 0.05 になると、温度分布と第1モードのみの場合との差はピークの最大 1.27% に収まり、中心温度は 39.4 °C になります。そこから形はほとんど変わらず、高さだけが低くなっていきます。対数グラフ上では各モードは直線になり、その傾きは第1モードの k² 倍になります。これはまさに Fourier Series Builder が構築する級数であり、フーリエ自身も熱のためにこれを書き上げました。彼の著書『熱の解析的理論』（1822年）は、1807年の終わりにフランス学士院に提出された論文から発展したものです。

長さが2倍になると、かかる時間は4倍になる 🖖

中央3分の1、銅を押してから、銅、0.5 メートルを押してみてください。方程式が τ = κt/L² という一つの時計しか持たないため、二つの温度分布は完全に一致します。棒の長さは2乗として影響し、材質は熱拡散率 κ としてのみ影響します。そのため、1メートルの銅が τ = 0.05 に達するのに 432.2 秒かかるのに対し、半分の長さならその4分の1の 108.0 秒で済みます。第1モード単体が 1/e に減衰するまでの時間は L²/(π²κ) です。これは1メートルの銅で 875.7 秒、κ が 9.89 倍小さい炭素鋼では 8,659.9 秒、パイレックスでは 36.1 時間になります。熱は一定の「速度」で伝わるわけではありません。熱が広がる距離は時間の平方根に比例して大きくなります。Quantum Random Walk で見られる古典的なランダムウォーカーの広がりにも、これとまったく同じ平方根が現れます。

棒はどちら側が熱されていたかを忘れる 🖖

左半分を加熱を押してください。熱はすべて左側から始まるため、冷えるまで棒の温度は左右非対称のままだろうと考えるのが自然です。しかし、熱が消え去るよりもずっと早く、この非対称性は姿を消します。温度分布の非対称な部分は、上向きの山と下向きの山を同数持つ偶数モードによるものです。その中で最大かつ最も遅いモード 2（上向きの山一つと下向きの山一つ）は、初期状態では第1モードとまったく同じ大きさ（b₂ = b₁ = 63.662）ですが、4倍の速さで減衰します。銅で 14.4 分が経過して τ = 0.1 になると、第1モードが 0.3727 倍残っているのに対し、モード 2 は 0.0193 倍しか残っていません。最も熱い地点は中心から 3.2 cm 離れた 0.468 m まで移動し、加熱された側の4分の1地点の温度は、反対側の対称な地点と比べてわずか 2.5 °C しか高くなっていません。一方で、棒にはまだ 30.21% の熱が残っています。どのような分布を描いても、その第1モードが完全にゼロでない限り、同じことが起こります。他のすべてのモードは第1モードよりも速く減衰するため、どのような分布も最終的には同じアーチ形状に落ち着きます。結局のところ、棒が初期状態について記憶しているのはアーチの高さ b₁ という一つの数字だけなのです。

全プロセスの詳細解説

鋼鉄の棒の中心が冷たくなるまでにかかる時間は？ 3 ステップ
長さ 1 m の炭素鋼の棒があり、両端は氷につけられ、中央の3分の1が 100 °C になっています。中心の温度が 1 °C を下回るまでにはどれくらいの時間がかかるでしょうか？時間スライダーは τ = 0.3 で止まってしまうため、そこまで答えには届きません。まずは中央3分の1、炭素鋼を押してみてください。ページ上に b₁ と、第1モードが 1/e に減衰する時間が表示されます。

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1. 中心温度が 1 °C に達するずっと前に、第1モード以外のすべてのモードは消滅しています（τ = 0.1 の時点ですでに分布は単一のアーチから 0.02% 以内の誤差に収まっています）。つまり中心温度は b₁e^−π²τ と表せるため、これを 1 と置いて τ を求めます。
  
  $b_{1} e^{- π^{2} τ} = 1 \Rightarrow τ = \frac{ln 63 . 662}{π ^{2}} = \frac{4 . 1536}{9 . 8696} = 0.42085$
2. τ = κt/L² であり、T₁ = L²/(π²κ) であるため、求める時間は「第1モードが 1/e になる時間」の ln(b₁) 倍になります。
  
  $t = \frac{τ L ^{2}}{κ} = ln (b_{1}) T_{1} = 4.1536 \times 8, 659.9 s = 35, 970 s$
3. 残りのモードの中で最大のモード 3 が、その時点で本当に消滅しているか確認してみましょう。
  
  $∣ b_{3} ∣ e^{- 9 π^{2} τ} = 42.441 \times e^{- 9 π^{2} \times 0.42085} = 42.441 \times e^{- 37.38} = 2.5 \times 1 0^{- 15}^{\circ} C$
解答

10時間弱（35,970 秒）です。 材質に関わらず、答えは ln(63.662) = 4.15 倍の減衰時間となります。そのため、同じ棒が銅であれば 4.1536 × 875.7 s = 3,637 s となり、およそ一時間で済みます。その頃にはモード 3 は 2.5 × 10⁻¹⁵ °C まで下がっているため、単一アーチの公式はどんな温度計の目盛りよりもはるかに高い精度で正確に成り立ちます。

$t = 35, 970 s \approx 9.99 h; copper: 4.1536 \times 875.7 s = 3, 637 s$

学習の道すじ

熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式

参考文献 (2)

Fourier's own account of where the theory began: first set out in a manuscript sent to the Institute of France at the end of 1807, with an extract in the Bulletin des Sciences for 1808 (Preliminary Discourse); and the first problem the book solves with a trigonometric series, the steady temperatures of a plate between two parallel sides held at 0 with its base held at 1, which is Laplace's equation rather than the cooling rod (Art. 163 onwards): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman. Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Preliminary Discourse; Chapter III, Section I, Arts. 163–166.
The thermal diffusivities this page uses, at 20 °C: pure copper 11.57 × 10⁻⁵ m²/s, pure aluminium 9.61 × 10⁻⁵ and carbon steel with 1.0% C 1.17 × 10⁻⁵ (Table A.1), Pyrex borosilicate glass 7.8 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the history in the caption of Fig. 1.4, Fourier's 1807 monograph refereed by Lagrange and Laplace and his series not in print until 1822: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. Table A.1, p. 739; Table A.2, p. 742; Fig. 1.4, p. 12.

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