ラプラス方程式：定常状態の平板

正方形の平板の四つの辺の温度を設定し、好きな点を一つ選んでみてください。ここではその点の定常状態における温度を、三つの異なる方法で導き出します。フーリエ級数による計算、冷え切った状態からグリッドを少しずつ緩和させていく手法、そしてその点からランダムウォーカーを放ち、どの辺にたどり着くかを数える方法です。

計算例 — ラプラス方程式：定常状態の平板

フーリエ級数による厳密解（一辺あたり22項）、Fは上辺の解	54.05
20 × 20 グリッド上、すべての点は四つの隣り合う点の平均	53.98
上、右、下、左の各辺から飛び出したウォーカーの数	10,825 / 3,617 / 1,927 / 3,631
ウォーカーによる推定値: 20,000体がたどり着いた辺の平均温度	54.13
その標準誤差	0.35
ウォーカーが辺に到達するまでの平均歩数	91.6
点Pが0.1 °C以内に収まるまでのヤコビスイープ回数（20 × 20 グリッド）	457
点Pを中心とする半径0.2の円周上における厳密な温度の平均	54.05

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レッスン

理論 — ラプラス方程式：定常状態の平板

ラプラス方程式（∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0）は、内部に熱源を持たない均質な物体の温度が変化しなくなった状態に対して成り立ちます。熱はある場所から入り、別の場所から出ていきますが、どの点においても熱が新しく生まれたり失われたりすることはありません。その解である調和関数は、平均値の性質を持っています。すなわち、ある領域内の任意の点における値は、その点を中心として領域内に描いた円周上の平均値と常に等しくなります。グリッドの世界では、この方程式は「すべての点が隣接する四つの点の平均になる」というシンプルな法則に姿を変えます。フーリエが『熱の解析的理論』（1822年）の中で、自身の級数を用いて最初に取り組んだのもこの問題でした。一方の端を沸騰した水の温度に、両側面を氷の温度に保った無限に長い平板が、最終的に変化しなくなった姿を解き明かしたのです。

各記号の意味

u: 定常状態の温度 (°C)
T: 辺に固定された温度。上、右、下、左に対してそれぞれ T_t、T_r、T_b、T_l
N: 1辺に並ぶグリッドマスの数。グリッド間隔は辺の長さの1/N
W: 点Pから放たれるウォーカーの数

ある点の温度は、熱い辺へさまよい着く確率に等しい 🖖

上辺が高温、Pは下から四分の三を押してみてください。級数による点Pの温度は54.05 °Cです。ここで、一旦平板のことは忘れてゲームをひとつ想像してみましょう。点Pから出発し、四つの隣接するグリッド点へ等しい確率で進み、いずれかの辺にたどり着くまで歩き続けます。20,000体のウォーカーのうち10,825体が最初に上辺に到達しました。つまり、54.13%が100 °Cの辺で旅を終え、残りが0 °Cで終えるため、平均値は54.13 ± 0.35となります。グリッド上において、この一致は単なる近似ではなく完全に厳密なものです。「上辺にたどり着く確率」は、「各点は四つの隣り合う点の平均になる」という温度とまったく同じ法則に従い、辺における値も同じだからです。グリッドが弾き出した53.98という数字は、最後の桁までその確率を正確に表しています。ウォーカーたちは、他の点の温度を一切計算することなく点Pの温度を見つけ出してしまいます。平板の外側に描かれたバーは、彼らがどこから飛び出したかを示しています。最も近い上辺の中央付近に、多くのウォーカーが集中しているのが分かるでしょう。

すべての点は、それを囲む任意の円の平均になる 🖖

上辺が高温、Pは下から四分の三のまま、緑色の円に注目してください。円の最も高い位置は89.97 °C、最も低い位置は29.46 °Cで、その中間は59.71です。円周全体で平均をとると、点P自身の温度と同じ54.05になります。驚くべきことに、平板に収まる大きさであれば、点Pを囲むどんな円を描いてもこの平均値は54.05のままなのです。「各点が四つの隣接する点の平均になる」というグリッドの法則は、この性質を最も小さな形で表したものにすぎません。点Pを色々な場所へドラッグすると、もうひとつの重要な帰結に気づくはずです。内部のどんな点も、周囲のすべての点より熱くなることは決してありません。つまり、平板上で最も熱い場所と最も冷たい場所は、必ず外枠の辺上に存在します。これとまったく同じ電位の性質があるからこそ、何もない空間において、固定された電荷をどのように配置しても、別の電荷を安定した釣り合いの状態に保つことはできません。この話題については、Electric Field Visualiserでさらに詳しく探求できます。

平板の緩和は熱の流れ。グリッドを二倍細かくするとスイープは四倍になる 🖖

中心、10 × 10を押してから、上辺が高温、Pは中心、そして中心、40 × 40の順に押してみてください。中心の温度が25の0.1 °C以内に収束するまでに、それぞれ120回、485回、1,945回のスイープを要します。各点の値を隣り合う点の平均で置き換えていく過程は、まさに熱伝導方程式における1タイムステップに相当します。しかもそれは、グリッドが不安定にならずに踏み出せる最大の歩幅です。つまり、ヤコビスイープとは、時間を止めて平板が冷えていく様子をパラパラ漫画のように切り取ったものであり、熱が伝わる特有の遅さもそのまま受け継いでいます。間隔を半分にすると、各ステップが進める時間は四分の一になるため、同じだけ冷やすには四倍のステップが必要になります。ウォーカーたちも同じ代償を払います。三つのグリッドにおいて、辺にたどり着くまでの平均歩数は29.5歩、118.0歩、467.6歩と増えていきます。したがって、十分な精度を持つ細かいグリッドをこの方法で緩和させるには、多大な計算コストがかかります。中心点に限って言えば、これだけ多くのスイープを費やしても精度はまったく向上しません。先ほどの「四分の一回転」の論法により、どのグリッドでも中心の答えは厳密に25になるからです。

全プロセスの詳細解説

細かいグリッドでは何回のスイープが必要か？ 4 ステップ
冷たい状態から始めた場合、20 × 20のグリッドで平板の中心が25の0.1 °C以内に収まるまでに、ヤコビスイープを485回必要とします。では、1,000 × 1,000のグリッドでは何回必要になるでしょうか。 上辺が高温、Pは中心を押してみてください。画面には485という数字が表示されます。

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1. 冷え切った状態からスタートしたとき、最後まで残る誤差は sin πx sin πy という最も滑らかなパターンであり、各スイープごとにこの誤差は cos(π/N) 倍されていきます。上辺が100の場合、細かいグリッドの中心におけるこのパターンの大きさは 400/π² であり、N = 20 であってもすでにその値から半パーセント以内の範囲に収まっています：
  
  $\frac{4}{π ^{2}} \times 100 \times sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{400}{π ^{2}} = 40.53$
2. これが0.1 °Cまで縮小しなければならないため、必要なスイープ回数 s は 40.53 cos(π/N)^s = 0.1 という方程式を満たします。20 × 20のグリッドでこれを解くと、ページに表示された回数と一致します：
  
  $s = \frac{ln ( 40 . 53/0 . 1 )}{- ln cos ( π /20 )} = \frac{6 . 0046}{0 . 012388} = 484.7 \Rightarrow 485$
3. 1,000 × 1,000のグリッドでは、cos(π/N) ははるかに1へ近づきます：
  
  $- ln cos \frac{π}{1 , 000} = 4.935 \times 1 0^{- 6}, s = \frac{6 . 0046}{4 . 935 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.22 \times 1 0^{6}$
4. 各スイープごとに、内部にある 999² 個の点が更新されます：
  
  $1.22 \times 1 0^{6} \times 99 9^{2} = 1.22 \times 1 0^{6} \times 998, 001 \approx 1.2 \times 1 0^{12}$
解答

約1.22百万回のスイープが必要であり、ひとつの点の更新回数に換算すると約 1.2 × 10¹² 回にも上ります。 これは、50倍細かいグリッドにするために485の約2,500倍（比率の二乗）の手間がかかることを意味します。これが、巨大なグリッドを純粋なヤコビ法だけで解くことが現実的ではない理由なのです。

$s \approx 1.22 \times 1 0^{6} sweeps \approx 2, 500 \times 485$

学習の道すじ

熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式

参考文献 (2)

Fourier's first worked example of his method: the permanent temperatures of a rectangular plate of infinite length, its base held at the temperature of boiling water and its two sides at that of ice (Arts. 163–165), solved as a series whose terms are e^(−kx) cos ky with the coefficients found by expanding 1 in cosines (Arts. 171–190): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by A. Freeman, Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822), Chapter III, Arts. 163–165, pp. 131–133, and Art. 190, p. 154.
The random-number generator the walkers use, transcribed into the page from the authors' reference C and checked against it output for output: D. Blackman and S. Vigna, xoshiro128** 1.1, reference implementation in C (public domain), 2018, https://prng.di.unimi.it/xoshiro128starstar.c.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。