賭博者の破産

一人のプレイヤーが、手持ちのチップと目標を決めて賭け始めます。終わるのは、チップがなくなるか、目標に届いたとき。まずは資金の多い相手と対戦し、次にルーレットへ。一回に賭けるチップを一枚から全額まで動かしてみましょう。

計算例 — 賭博者の破産

賭けたチップにかかる控除率	0.00%
1,010に到達する確率	0.9901%
破産する確率	99.0099%
賭ける回数の期待値 E(T)	10,000.0
賭ける総額の期待値 E(S)	10,000.0
損失の期待値（最終結果から）	0.00
損失の期待値（賭ける総額から）	0.00
半数が終了するまでの賭け回数	220

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — 賭博者の破産

賭博者の破産は、手持ちa枚から始めたプレイヤーが、チップを失い尽くすか目標Nに到達するまで賭け続ける問題です。各回の勝敗は独立で、勝つ確率をpとします。1枚ずつ賭けるとき、Nに到達する確率は、r = q/pとして(1 − r^a)/(1 − r^N)。p = ½ならa/Nです。賭ける回数の期待値はa/(q − p) − (N/(q − p))·P(Nに到達)で、p = ½ならa(N − a)になります。どの戦略でも、損失の期待値は、控除率q − pと賭ける総額の期待値の積です。

各記号の意味

a: 最初の持ちチップ
N: 目標の枚数。相手の持ち分はN − a
p: 当たると賭け金と同額の利益を得る賭けで、勝つ確率。q = 1 − p
T: 終了までに賭ける回数
S: 各回に賭けた額を一度ずつ足した、賭け金の総額

前提: 各回の勝敗は独立です。当たれば賭け金と同額の利益を得て、外れれば賭け金をすべて失います。ルーレットでゼロが出た場合も負けです。チップは整数枚ずつ賭け、手持ちが0かNになるまで続けます。

資金の多い相手にはほぼ破産する。それでもゲームは公平 🖖

10枚で1,000枚に挑むを押してみてください。コインを投げるたびに勝ち負けは五分五分で、このページにもその公平さを崩す仕組みはありません。全プレイヤーの収支の平均はちょうど0です。だから、ほとんどの線が底に落ちていく間も、平均を示す破線は10枚の高さを保ちます。ここでいう公平さは、この平均についての性質です。あなたが相手の1,000枚を手にする確率は10/1,010 = 0.9901%。破産する99.0099%の人の損失が、わずかな勝者の利益を支えています。101人に1人が1,010枚を持ち帰れば、平均は10枚になるのです。終了までの時間も、大きく偏ります。半数は220回目までに終わるのに、平均は10 × 1,000 = 10,000回。まれに長く続く経路が、平均を押し上げます。賭け方を変えても、0.9901%は変わりません。公平なゲームでは、どの戦略でもNに到達する確率はa/Nです。表の右端の列がそれに当たります。大胆に賭ければ、終了までの時間や賭ける総額は変わりますが、到達確率も収支の平均も変わりません。相手の資金が無限なら、破産は確実です。グリンステッドとスネルは、1 − a/NでNを限りなく大きくして、この結果を導いています。また、手持ちx枚からNに到達する確率は、x − 1枚からの確率とx + 1枚からの確率の平均です。これは、<a href="/math/laplace-equation">ラプラス方程式</a>で板の温度を定めるのと同じ規則です。

控除率は、賭けるたびにその全額にかかる 🖖

100を倍に：1枚ずつを押してみてください。ヨーロピアンルーレットの赤は、当たれば賭けた額と同額の利益が得られ、当たる確率は18/37です。したがって、賭けたチップの平均損失は1/37 = 2.70%。「最後には、持ってきた分の約2.7%を失うのだろう」と考えたくなります。その計算で残る97.30枚を示しているのが、薄い破線です。実際には、終了時の全プレイヤーの平均は1枚を下回ります。200枚を目指して1枚ずつ賭けると、終了までの回数は平均3,666.9回。毎回1枚を賭けるので、3,666.9の1/37に当たる99.11枚が損失の期待値になります。最終結果から計算する100 − 200 × P(200に到達)も、まったく同じ値です。結果の表では、両方の計算を確かめられます。次に100を倍に：一回でを押してみましょう。100枚を一度だけ賭けると、平均損失は2.70枚。倍になる確率は18/37 = 48.6486%で、1枚ずつ賭ける場合の0.4466%を大きく上回ります。毎回の賭けがプレイヤーに不利なとき、目標に到達する確率を最大にするのは、手持ち全額か、目標までの不足分を賭ける大胆な賭け方です。カイル・シーグリストの公開教科書Randomに、その証明があります。この章は、レスター・ダビンズとレナード・サベージが1965年に出版したHow to Gamble If You Mustに基づいています。大胆に賭けると、遊べる時間は短くなります。平均3,666.9回のところが、たった一回です。

1枚ずつ賭けると、手持ちが多いほど倍にしにくい 🖖

10を倍に：1枚ずつを押すと、倍になる確率は36.8031%。そのまま表を下へ見ていきましょう。50枚なら6.2775%、100枚なら0.4466%、1,000枚なら3.30×10⁻²²%です。大胆な賭け方は、何枚でも48.6486%のまま。手持ちが多ければ、確かに長く続けられます。ただ、その長い時間に繰り返す賭けのすべてに、控除率がかかります。目標を手持ちの倍にすると、式は簡潔になります。失敗と成功の確率の比は、正確に(19/18)^a対1。最初の手持ちを1枚増やして目標もその倍にすると、この比は19/18倍になります。100枚なら222.9対1です。アブラハム・ド・モアブルは1711年に一般の式を導きました。その工夫を、グリンステッドとスネルが紹介しています。チップに仮の価値を与え、チップが増えるごとにその価値をq/p倍にすると、不公平なゲームが、その価値で測る限り公平になるのです。もう一つのゼロも押してみてください。わずかな条件の違いが、確率を大きく変えます。アメリカンルーレットではポケットが一つ増え、控除率は2.70%から5.26%へ、ほぼ倍になります。100枚を1枚ずつ賭けて倍にできる確率は、0.4466%から0.002656%へ。成功は約168倍もまれになります。一方、大胆な賭け方では48.6486%から47.3684%へと少し下がるだけです。次に扱うマーチンゲール法は、まさにこの難しさを避けようとする賭け方です。少額から始め、負けるたびに賭け金を倍にします。

全プロセスの詳細解説

百万分の一 4 ステップ
赤に1枚ずつ賭けてチップを倍にするとき、成功する確率が百万分の一以下になるのは、何枚からでしょうか。まず100を倍に：1枚ずつを押して、100枚での確率を確認してください。

この問題をツールで開く
1. ヨーロピアンルーレットで100枚から始めると、ページの結果は次のとおりです。
  
  $P = \frac{1 - r ^{100}}{1 - r ^{200}} = 0.004466, r = \frac{q}{p} = \frac{19}{18}$
2. 目標が最初の手持ちの倍ならN = 2aです。1 − r^2a = (1 − r^a)(1 + r^a)と因数分解できるので、分数を簡単にできます。100枚の場合、r¹⁰⁰ = 222.90です。
  
  $\frac{1 - r ^{a}}{1 - r ^{2 a}} = \frac{1}{1 + r ^{a}} : \frac{1}{1 + 222 . 90} = 0.004466$
3. この確率を百万分の一と置き、aについて解きます。
  
  $\frac{1}{1 + r ^{a}} = 1 0^{- 6} \Rightarrow a = \frac{ln 999 , 999}{ln ( 19/18 )} = \frac{13 . 8155}{0 . 054067} = 255.52$
4. チップは整数枚なので、求めた値の前後の整数で確かめます。
  
  $a = 255 : 1.03 \times 1 0^{- 6}, a = 256 : 9.75 \times 1 0^{- 7}$
解答

ヨーロピアンルーレットなら256枚です。255枚では百万分の1.03、256枚では百万分の0.975になります。アメリカンルーレットではr = 20/18。同じ手順で131.1と求まるので、132枚です。大胆な賭け方なら、ここで挙げたどの枚数でも、倍になる確率はヨーロピアンで48.65%、アメリカンで47.37%。ページで手持ちを256、目標を512に設定し、一回に賭ける枚数を動かして比べてみてください。

$a = 256 (r = \frac{19}{18}), a = 132 (r = \frac{20}{18})$

学習の道すじ

公平なゲームが招く破産

参考文献 (3)

The gambler's ruin problem and its formula for the chance of ruin, the limit against an "infinitely rich" adversary (ruin with probability tending to 1 in a fair game, which the first insight quotes), and de Moivre's 1711 derivation by giving the counters nominal values (q/p)^k so that the unfair game becomes fair, which the third insight retells: C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006, freely redistributable under the GNU Free Documentation License. Section 12.2, Gambler's Ruin, pp. 486–490.
Timid play (a constant bet until ruin or the target) with its probability of winning f(x) = ((q/p)^x − 1)/((q/p)^a − 1), or x/a when p = 1/2, and its expected number of games g(x) = x/(q − p) − (a/(q − p)) f(x), or x(a − x); that larger constant bets help in an unfair game and make no difference in a fair one; bold play's functional equation F(x) = pF(2x) or p + qF(2x − 1), its binary-digit sum, the table F(k/8) and G(k/8), and that for p = 1/2 bold play reaches the target with probability x/a, as timid play does. The page's formulas are these, and check:compute holds its bold-play solver to the binary-digit sum and to the table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance: §9 Red and Black, §10 Timid Play, §11 Bold Play.
Bold play is optimal when the trials are unfair (p ≤ 1/2), proved through the sufficient condition pV(x + y) + qV(x − y) ≤ V(x); bold play is not the only optimal strategy; and the chapter's own statement that its exposition 'is based primarily on' Dubins and Savage. The second insight cites both through this page, and check:compute applies the same condition to every whole-chip bet in the page's table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance, §12 Optimal Strategies; the chapter is based on L. E. Dubins and L. J. Savage, Inequalities for Stochastic Processes (How to Gamble If You Must), 1965.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。