2×2ゲームにおけるナッシュ均衡

ステップ 4 と 5 を見てください。行プレイヤーが上を選ぶ頻度を決める方程式には、列プレイヤーの四つの数字しか含まれていません。そして、列プレイヤーの頻度を決める方程式には、行プレイヤーの数字しかありません。これこそが混合戦略の目的です。相手がどちらの選択肢を好む理由もなくなるように自身の頻度を選ぶため、あなたが解いているのは自分の方程式ではなく相手のものなのです。相手の利得には触れずに、自分自身の利得のいずれかを書き換えてみてください。自分の確率が微動だにしないのが分かるでしょう。あなたの加えた変更によって混合戦略均衡が完全に破壊され、カードになしと表示されるその瞬間までは。罠は、その二つ目の条件に潜んでいます。ペナルティキックの場合、キッカーが得るすべてのポイントはキーパーが失うポイントであるため、二つの行列は連動しています。つまり、真に上達したキッカーは両方の利得を変化させるため、結果として彼自身の確率も動くのです。彼がノーマークでシュートを決める確率を 95 から 99 に上げ、それに合わせてキーパーの 5 を 1 に下げてみましょう。すると彼が上へシュートを打つ確率は 36.4% から 33.9% に変化します。

チキンゲームを押し、次にチキン（度胸への報酬）を押してください。一つの数字が変わりました。それは行プレイヤーのものです。避けた相手に対して強気に出た場合の利得が、5 から 12 になりました。行プレイヤー自身の行動は少しも変わりません（依然として 33.3% の確率で避けます）。しかし、彼らの均衡利得は 1.67 から 1.20 へと減少し、28% の下落となります。動いたのは相手のドライバーであり、避ける確率が 33.3% から 10.0% に低下しました。それほど大きな見返りがあるのなら、相手の車が道を譲る可能性が十分の一であっても、直進するだけの価値があります。だからこそ、均衡が許容する譲歩はそれがすべてなのです。以前は 44.4% だったのに対し、現在では両方の車が 60.0% の確率で直進します。瀬戸際戦術に長けていることへの報酬は、より頻繁にブラフを見破ってくる対戦相手、より多くの衝突、そしてより小さな利得です。その一方で、列プレイヤー自身の利得はまったく変化していません。

どのプレイヤーも完全に無差別にはならないように八つの利得を設定し、均衡の数を数えてみてください。一つか三つになるはずです。利得が 0 から 3 までの整数である 65,536 個の 2×2ゲームをすべて調べると、一つになるものが 31,968 個、三つになるものが 7,968 個になります。偶数個になるものは 25,600 個ありますが、そのすべてに同点が含まれています。つまりプレイヤーが全く等しく満足する二つの利得があり、四角形の辺全体が最適反応となって、図の中の経路が交差する代わりに重なり合うのです。八つのボックスすべてに 2 を入力すると、その極端な例が見られます。すべてのセルが均衡となり、その数は四つになります。ロバート・ウィルソンは 1971 年に、ほぼすべての有限ゲームが奇数個の均衡を持つことを証明しました。そして図解を見ればその理由は明らかです。四角形の一方の辺からもう一方の辺へと向かう二つの経路は必ず交わり、互いに重なり合わない限り、交わる回数は奇数になります。