ケリー基準

有利な賭けを繰り返し、毎回、手持ちの資金の一定割合を賭けます。賭ける割合を大きくするほど、平均資金は増えます。その平均を作る一人ひとりの資金は、どうなるでしょう。推移を見ながら、個人にとって最もよい割合を探してみましょう。

計算例 — ケリー基準

ケリー比率	0.200
ケリー比率での一回あたりの成長率	+0.02014
ケリーの成長率に対する割合	100.0%
成長率がゼロになる賭けの割合	0.3894
一回あたりの平均利益（資金に対する割合）	+4.00%
100回後の平均資金	50.50
100回後の資金の中央値	7.49
開始時の資金を下回る確率	17.9%

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レッスン

理論 — ケリー基準

ケリー基準は、繰り返す賭けに資金のどの割合fを賭ければ、長期の成長率g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f)が最大になるかを定めます。g(f)は、一回の賭けによる資金の増加倍率の対数の期待値です。勝率pで、賭け金1に対して利益bが得られる賭けでは、f* = (bp − q)/bで最大になります。勝てば賭け金と同額の利益が得られる場合は、f* = p − q、つまり勝率と負ける確率の差です。大数の法則により、n回賭けた後の個人の資金は、対数目盛ではe^ng(f)に近くなります。一方、平均資金は(1 + (bp − q)f)ⁿで、fを大きくするほど増えます。

各記号の意味

p: 各回の勝率。q = 1 − p
b: 賭け金を返してもらうほかに得られる、賭け金一単位あたりの利益
f: 毎回、手持ちの資金のうち賭ける割合
g(f): 個人の一回あたりの成長率（自然対数で表す）

前提: 毎回の賭けは独立で、pとbは変わらないものとします。また、資金は必要なだけ細かく分けられると仮定します。賭けるたびに、その時点の資金に対する割合がfになるよう、賭け金を決め直します。

平均資金が急増する一方で、典型的なプレイヤーは資金を失う 🖖

全額を賭けるを押してみましょう。勝率は60%で、勝てば賭け金と同額の利益が得られます。一回あたりの平均利益は賭け金の20%。毎回全額を賭ければ平均資金は最大になり、100回後には開始時の1.2¹⁰⁰ = 8.28×10⁷倍に達します。この平均を支えるのは、100回すべてに勝つという、ただひとつの結果です。その確率は0.6¹⁰⁰ = 6.53×10⁻²³。それ以外では資金がゼロになります。今回の200人も全員がそうなっています。ジョン・ケリーは1956年、このような賭け方をする人は「無期限に続ければ、ほぼ確実に破産する」と述べました。賭ける割合を下げても、問題がなくなるわけではありません。ケリーの二倍を押すと、一回に賭けるのは資金の40%。100回後の平均は2,199.76ですが、中央値は0.78で、53.8%のプレイヤーが開始時の資金を下回ります。<a href="/stat/martingale-betting">倍賭け法</a>では、これと逆の現象が起きました。ほとんどの晩は勝って終わるのに、平均では損失が出るのです。

有利な賭けを続けても、資金はほぼ確実に減っていく 🖖

上のグラフの破線は、平均資金の増加倍率の自然対数ln(1 + 0.2f)です。賭ける割合を増やすほど高くなります。実線のg(f) = 0.6 ln(1 + f) + 0.4 ln(1 − f)は、個人が賭けを繰り返したとき、ほぼ確実に実現する資金の成長率を表します。最大になるのはケリー比率の0.200。ケリー比率の1.947倍に当たる0.3894で、成長率は再びゼロになります。この割合でも、一回あたり平均で資金の7.79%の利益が出ます。ところが、それを超えて賭けると、一回ごとの賭けがどれほど有利でも、資金はほぼ確実にゼロへ収束します。エドワード・ソープも、この問題について最初に述べた定理の(ii)に、この結果を示しています。勝てば賭け金と同額の利益が得られる条件では、勝率によらず、ケリー比率の二倍に達する前に成長率がゼロになります。ケリーの二倍で1,000回を押してみましょう。平均資金は2.65×10³³、中央値は0.0866です。f = 0の近くでは、両曲線の差は一回の収益率の分散のおよそ半分になります。この成長率の低下は、ドローダウンと変動による成長率の低下で実際のポートフォリオについて測るものと同じです。ケリー比率では、その差がすでに成長率そのものと同じくらいの大きさになっています。

ケリーの半分でも、成長率の四分の三を保てる 🖖

ケリーの半分を押してみましょう。賭ける割合を資金の0.2から0.1に下げると、賭け金は半分になりますが、成長率は74.7%残ります。g(f)は頂点で傾きがゼロになるため、そこから少し割合を下げても、成長率はあまり落ちません。その代わりに得られるものが、表に表れています。100回後に開始時の資金を下回る確率は、17.9%から6.4%に下がります。ケリーが示したとおり、ケリー比率で賭ける人は、ほかのどの固定割合で賭ける人に対しても「ほぼ確実に、いずれ資金で上回り、その後も上回り続ける」のですが、そこに至るまでには時間がかかります。同じ100回の勝敗で比べると、ケリー比率の資金が半分の比率の資金を上回る確率は69.7%。1,000回後には94.3%になります。ソープは、ケリー比率の半分なら成長率は四分の三になると述べています。勝てば賭け金と同額の利益が得られる条件では、保てる成長率はこれを超えません。ソープがケリーの論文を知ったのは1960年、MITのクロード・シャノンを通じてでした。その方法をブラックジャックで使い、1962年のBeat the Dealerで賭けをする人々に紹介しました。実際には、賭ける割合を小さめに調整するのが一般的だとも記しています。ケリー比率は、資金の対数の期待値を最大にする割合でもあります。これは、ダニエル・ベルヌーイがサンクトペテルブルクの賭けで用いた評価の尺度です。

全プロセスの詳細解説

勝敗の確率は60–40だと思っていた。実際は55–45だった。 4 ステップ
勝率をp = 0.6と見積もり、勝てば賭け金と同額の利益が得られる条件で、ケリー比率を賭けます。実際の勝率は0.55でした。成長率はどうなりますか。ケリー比率の半分を賭けていたら、どうでしょう。まずケリー比率を押すと、選んだ割合と、見込んでいる成長率を確認できます。

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1. 画面に表示される、選んだ割合と見込んでいる成長率：
  
  $f^{*} = p - q = 0.6 - 0.4 = 0.2, g (f^{*}) = + 0.02014$
2. 実際のケリー比率はp − q = 0.10なので、0.2は適切な割合の二倍です。実際のpでの成長率は：
  
  $0.55 ln 1.2 + 0.45 ln 0.8 = - 0.00014$
3. 見積もったケリー比率の半分、0.1は、実際のケリー比率と一致します：
  
  $0.55 ln 1.1 + 0.45 ln 0.9 = + 0.00501$
4. 仮に勝率0.6という見積もりが正しくても、ケリー比率の半分で保てる成長率は
  
  $\frac{0 . 6 ln 1 . 1 + 0 . 4 ln 0 . 9}{0 . 02014} = \frac{0 . 01504}{0 . 02014} = 74 . 7%$
解答

実際のpでは、見積もったケリー比率での成長率は一回あたり−0.00014です。10%の優位性がある賭けでも、最適だと思って選んだ割合で賭け続けると、資金はほぼ確実に減っていきます。半分の割合なら成長率は+0.00501で、p = 0.55で得られる最大値になります。見積もりが正しかった場合に失うのは、成長率の四分の一です。勝率を5ポイント高く見積もるだけで、ケリー比率どおりに賭けたつもりが、成長率ゼロの境界を超えてしまいます。p = 0.55での境界は0.1987。この影響の非対称性が、ケリー比率より小さい割合で賭ける主な理由です。

$p = 0.55 : g (0.2) = - 0.00014 < 0 < g (0.1) = 0.00501; f_{c} = 0.1987 < 0.2$

学習の道すじ

公平なゲームが招く破産

参考文献 (2)

The paper the page is named after: a gambler betting a fraction ℓ of his capital on an even-money channel symbol has growth G = q log(1 + ℓ) + p log(1 − ℓ), maximised at 1 + ℓ = 2q, that is ℓ = q − p; betting everything maximises the expected capital, "(2q)^N V₀", but "he would be broke with probability one if he continued indefinitely"; and the maximising gambler "will, with probability one, eventually get ahead and stay ahead" of one using any other fraction. Kelly's p is the chance of an error and q of a correct symbol, the reverse of the page's p and q: J. L. Kelly, Jr., A new interpretation of information rate. Bell System Technical Journal 35(4), 917–926 (July 1956). doi:10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
The practitioner's account: the coin-tossing case with g(f) = p log(1 + f) + q log(1 − f), f* = p − q, the zero-growth stake f_c with f* < f_c < 1, Theorem 1 (part (ii): if g(f) < 0 the bankroll tends to 0 almost surely; part (iv): Kelly beats any essentially different strategy), betting everything as the 'bold' criterion that makes ruin almost sure, half Kelly's growth reduced to 3/4 of the maximum in the continuous approximation, and Thorp's own history: introduced to Kelly's paper by Claude Shannon at MIT in 1960, used it in play, and introduced it to gamblers in the first edition of Beat the Dealer (1962), with stakes 'modified somewhat in practice (generally down)': E. O. Thorp, The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market. Chapter 9 in S. A. Zenios and W. T. Ziemba (eds.), Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1, pp. 385–428. Elsevier, 2006. doi:10.1016/S1872-0978(06)01009-X

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。