マーチンゲール法

赤に1単位。負けたら倍にし、勝つまで続けます。大勢の参加者が1,000セッションを重ねる様子を見てみましょう。資金を増やして、倍賭けを続けられる回数が増すと何が変わるかも確かめられます。

計算例 — マーチンゲール法

賭け金あたりの胴元の優位率	2.70%
資金で賭けられる回数 k	10
1単位の利益で終わる確率	99.8725%
倍賭けがすべて負ける確率	0.1275%
セッションの収支の期待値 E(R)	−0.3056
セッションの賭け金総額の期待値 E(S)	11.308
賭け金あたりの収支	−2.7027%
1,000セッションで全敗しない人の割合	27.92%

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レッスン

理論 — マーチンゲール法

マーチンゲール法は、勝てば賭け金と同額の利益が出る賭けに1単位を賭け、負けるたびに賭け金を倍にし、最初の勝ちで終える方法です。そのときの利益は差し引き1単位になります。k回まで賭けられる資金2^k − 1単位があると、セッションで全額を失う確率はq^k。収支の期待値は1 − (2q)^k、賭け金総額の期待値はiを0からk − 1まで動かした(2q)ⁱの和で、前者を後者で割ると厳密にp − qになります。確率論でいうマルチンゲールは、それまでの情報をすべて与えたとき、次の値の条件付き期待値が現在の値に等しい確率過程です。公平なゲームを数学で表したものといえます。

各記号の意味

B: 資金。最初の賭け金を単位とする
k: 資金で賭けられる回数。2^k − 1 ≤ Bを満たす最大のk
q: 一回の賭けに負ける確率。1 − p
R: セッションの収支。+1または−(2^k − 1)
S: セッションで賭けた金額の総和
X: nセッションのうち全敗したセッションの数

前提: 毎セッション、資金を補充して1単位から始めます。どの賭けも、勝てば賭け金と同額の利益が出て、ゼロが出れば賭け金をすべて失います。テーブルの賭け金上限も、資金が少ない場合と同じように、倍賭けを続けられる回数を制限します。

ほぼ毎セッション勝てる倍賭けでも、賭け金には胴元の優位率がかかる 🖖

1,023単位・1,000セッションを押してみましょう。赤に1単位を賭け、負けるたびに倍にし、最初に勝ったところで終えます。それまでに何回負けていても、勝てば差し引き1単位の利益です。毎回の賭け金が、それまでの損失の総額より1単位多くなっているからです。資金1,023単位で賭けられるのは、1 + 2 + … + 512の10回。赤が10回続けて出ない場合を除き、セッションは1単位の利益で終わります。その例外が起こる確率は0.1275%で、そのときは1,023単位をすべて失います。灰色の破線は、この方法を続ける人の実感を描いています。毎セッション、1単位ずつ増えていく線です。セッションの収支の期待値は0.998725 × 1 − 0.001275 × 1,023 = −0.3056。賭け金総額の平均は11.308単位です。大半のセッションは初回か次の賭けで終わり、少数だけがその先へ進みます。収支の期待値を賭け金総額の期待値で割り、丸める前の値で計算すると−2.7027%。これは−1/37、つまり赤への一回の賭けでの優位率と、すべての桁で一致します。資金額を変えても、この関係は変わりません。セッションは個々の賭けをつないだもので、どの賭けも金額によらず、平均して賭け金の1/37を失うからです。公平なコインを押すと、収支の期待値は厳密に0になります。これはドゥーブの任意停止定理にあたります。カイル・シーグリストの教科書は、賭け手にとっての意味を明快に述べています。ゲームが公平、または賭け手に不利なら、「停止時刻をどれほど巧みに選んでも、賭け手に有利にはならない」。必ず10回以内に終わるこのセッションは、その分かりやすい例です。マーチンゲールという名を先に使っていたのは賭け手たちでした。ロジェ・マンシュイは、プレヴォ神父の1750年の辞書にその用例を見いだしています。ファロで負けるたびに賭け金を倍にする方法で、目的は「一度でも勝てば、確実に利益を得て終えるため」。ジャン・ヴィルがこの言葉を確率論に取り入れたのは1939年です。

ほぼ毎セッション勝てても、1,000セッション後には大半の人が損をしている 🖖

1,023単位・1,000セッションのまま、400人の収支を眺めてみましょう。全敗した人も、次のセッションでは資金を補充して再開します。各線はセッションごとに1単位ずつ上がり、全敗すると1,023単位下がります。全敗の確率はセッションごとに0.1275%と小さくても、各参加者は1,000セッションを重ねます。1,000セッション後、一度も全敗していない27.92%の人の収支は+1,000。残る人は少なくとも一度全敗しています。一度だけでも、収支は999 − 1,023 = −24になるので、72.08%の人が損をしていることになります。初めて全敗するセッションの中央値は544セッション目。100セッションを押すと、その時点ではまだ88.02%の人が全敗を経験していません。1,000セッション後の平均収支は1,000 × (−0.3056) = −305.6で、紫色の破線が示す値です。ただし、下のグラフを見ると、この値のところには誰もいません。累計収支が取りうる値は1,000、−24、−1,048と、1,024刻みで下がっていきます。全敗したセッションでは1,023単位を失ううえ、勝てば得られた1単位も得られないためです。この方法では、損失がまれに起こる1,023単位の大きな塊にまとめられます。それで、長い間ずっと勝っているように感じられるのです。

倍賭けを続けられる回数が増すと、セッションあたりの損失も増える 🖖

63単位・6回まで倍賭けを押してみましょう。資金63単位で賭けられるのは6回。1.8336%のセッションで全額を失い、収支の期待値はセッションあたり−0.1735です。資金1,023単位なら−0.3056。次に百万単位を押すと、1,048,575単位で20回まで賭けられます。全敗の確率はわずか1.63×10⁻⁴%になりますが、収支の期待値は−0.7047です。損失が増える理由は、資金の表に表れています。倍賭けの先の段階まで進むことはまれでも、そこに達したときの賭け金は格段に大きくなります。そのため、賭け金総額の期待値は6.420、11.308、26.072と増え、そのどの部分にも2.7027%の優位率がかかります。百万単位の資金では、99.84%の人が1,000セッションを全敗なしで終え、1,000単位の利益を得ます。それでも平均収支は−704.7。一度に1,048,575単位を失う0.16%の人が、その損失を引き受けています。カサノヴァは回想録で1754年のヴェネツィアのカーニバルを振り返り、6回までの倍賭けをしたと記しています。「6枚目のカードでは一度も負けなかった。負けていれば資金が尽きていただろう」（グリンステッドとスネルによる引用）。公平なコインなら、どれだけ倍賭けを続けられても、資金額によらず収支の期待値は厳密に0です。この制約から外れるのは、資金が無限にある場合だけ。その場合は確率1で1単位の利益を得ますが、セッションあたりの賭け金総額の期待値も無限大になります。次の題材では、同じ倍増の仕組みを別の方向から見ます。サンクトペテルブルクのゲームは、コインを投げるたびに賞金が倍になり、その期待値は無限大です。

全プロセスの詳細解説

1,000セッションを全敗なしで終えるには 4 ステップ
ヨーロピアン・ルーレットの赤で、1,000セッションを一度も全敗せずに終える確率を90%にするには、どれだけの資金が必要でしょうか。そのとき、セッションあたりの損失はいくらになるでしょうか。まず1,023単位・1,000セッションを押し、資金1,023単位での確率を確かめましょう。

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1. 画面に表示される、10回まで賭けられる場合の確率は：
  
  $(1 - q^{10})^{1, 000} = (1 - 0.001275)^{1, 000} = 0.2792$
2. 90%を達成するには、セッションで全敗する確率を次の値以下にする必要があります：
  
  $(1 - q^{k})^{1, 000} \geq 0.9 \Rightarrow q^{k} \leq 1 - 0 . 9^{1/1, 000} = 0.00010535$
3. 賭けられる回数が増すごとに、全敗の確率はq = 19/37倍になります。必要な回数の下限は：
  
  $k \geq \frac{ln 0 . 00010535}{ln ( 19/37 )} = \frac{- 9 . 1582}{- 0 . 6665} = 13.74 \Rightarrow k = 14$
4. 14回まで賭けるには2¹⁴ − 1単位が必要です。収支の期待値も、同じ公式から求められます：
  
  $B = 2^{14} - 1 = 16, 383 : (1 - q^{14})^{1, 000} = 0.9152, E (R) = 1 - (\frac{38}{37})^{14} = - 0.4526$
解答

資金16,383単位で14回まで賭ければ、確率は91.52%になります。13回までの資金8,191単位では84.14%にとどまります。その代わり、収支の期待値はセッションあたり−0.3056から−0.4526へ下がり、1,000セッションでは−305.6から−452.6になります。資金を16倍にすると、全敗せずに終える確率が高まると同時に、損失の期待値も大きくなります。

$B = 16, 383 : 91 . 52%, 1, 000 \times (- 0.4526) = - 452.6 (B = 1, 023 : - 305.6)$

学習の道すじ

公平なゲームが招く破産

参考文献 (3)

Where the name comes from, which the first insight quotes: the abbé Prévost's dictionary of 1750 defines the martingale, at faro, as doubling the stake at each loss "in order to quit with a sure profit, provided that he wins once"; Jean Ville's 1939 thesis took the gamblers' word into probability, and Doob adopted it from there. The Provençal and harness etymologies are reported as uncertain: R. Mansuy, "The Origins of the Word 'Martingale'", translated by R. Sverdlove. Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique / Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5(1), June 2009.
Doob's optional stopping theorem for bounded stopping times, and the gambler's reading the first insight quotes, "If the games are fair or unfavorable, then no stopping time, regardless of how cleverly designed, can help the gambler"; with the red-and-black identity E(Xᵢ) = E(Xᵢ₋₁) + (2p − 1)E(Yᵢ), which summed over a session's bets gives the page's E(R) = (p − q)E(S): K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 16, Martingales, §3 Stopping Times; and Chapter 12, Games of Chance, §9 Red and Black.
Casanova's martingale in Venice, quoted in the third insight ("I never lost the sixth card. If I had lost it, I should have been out of funds"), the doubling system set as Exercise 10 of §1.1, and Exercise 12 of §6.1, the page's 63-unit ladder on a wheel with no zero (start with 1, stop at the first win or when black has come up six times and you are down 63): C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006 (GNU Free Documentation License). §1.1, Historical Remarks, pp. 11–12, and Exercise 10; §6.1, Martingales and Exercise 12.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。