サンクトペテルブルクのパラドックス

表と裏が同じ確率で出る硬貨を、表が出るまで投げます。k回目に初めて表が出ると、賞金は2^k−1ドゥカート。期待値は無限大です。二百人がこのゲームを繰り返す様子を見てみましょう。胴元の支払いに上限を設けると、ゲームの価値はどう変わるでしょうか。

計算例 — サンクトペテルブルクのパラドックス

資金16,777,216の胴元での価値	13.00
ゲーム回数と同額の資金65,536を持つ胴元での価値	9.00
65,536回のうち一回でも65,536以上を受け取る確率	63.2%
今回の200人の平均受取額の中央値	9.29
資産1,000でのベルヌーイの参加料	5.97
無料で参加できる場合の本人にとっての価値	5.97
資金1,000の胴元での価値	5.98
注目する一人	200人の中央値

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レッスン

理論 — サンクトペテルブルクのパラドックス

サンクトペテルブルクのゲームでは、表と裏が同じ確率で出る硬貨を、初めて表が出るまで投げます。それがk回目なら、プレイヤーは2^k−1ドゥカートを受け取ります。k回目の項が期待値に加えるのは2^−k · 2^k−1 = ½なので、期待値は無限大です。支払いの上限がBドゥカートの胴元なら、受取額はmin(2^k−1, B)となり、ゲームの価値はV(B) = (m + 1)/2 + B/2^m+1です。ここでm = ⌊log₂ B⌋。B = 2^mなら、価値は1 + m/2になります。ベルヌーイの対数効用では、資産Wのプレイヤーが払ってよい参加料の上限は、Σ 2^−k ln(W − x + 2^k−1) = ln Wを満たすxです。

各記号の意味

B: 胴元の支払いの上限（ドゥカート）
V(B): その胴元でのゲームの期待値
W: 参加前のプレイヤーの資産（ドゥカート）
x: 対数効用に基づき、資産Wのプレイヤーが払ってよい参加料の上限

胴元の支払いに上限を設けると、無限大の価値は13ドゥカートに 🖖

クラメールの胴元を押してみましょう。初めて表が出るのがk回目なら、賞金は2^k−1、その確率は2^−kです。どの回も期待値に加える額は半ドゥカート。これを限りなく足せば無限大になります。下のグラフの上端にある破線が、その期待値を示しています。すべての項を支払える胴元はいません。<a href="/stat/gamblers-ruin">賭博者の破産</a>と同じく、ここでも相手の資金は有限です。ガブリエル・クラメールは1728年の手紙でこの点を指摘しました。ダニエル・ベルヌーイが引用したその手紙では、賞金は2²⁴ = 16,777,216ドゥカートを超えないと仮定しています。すると、最初の25回に対応する項はそれぞれ半ドゥカートを加え、それより長いゲームはすべて上限額を支払うので、合わせてさらに半ドゥカートを加えます。ゲームの価値は13ドゥカートです。胴元の資金が2^mなら、価値は1 + m/2。資金を倍にするたびに半ドゥカート増え、1,000倍にしても増えるのは約5ドゥカートです。1713年にこの問題を出したニコラウス・ベルヌーイは、分別のある人なら誰でも、参加する権利を20ドゥカートで喜んで売るだろうとダニエルに伝えました。ゲームの価値を20にするには、胴元に2³⁸ = 274,877,906,944ドゥカートの資金が必要です。1兆ドゥカートあれば、価値は20.91になります。

何度繰り返しても、平均は落ち着かない 🖖

上限なし、65,536回を押してみましょう。細い線はそれぞれ、一人のプレイヤーの、その時点までの平均受取額です。期待値が有限なら、大数の法則によってこうした線は期待値に近づいていきます。ここでは期待値が無限大で、n回の平均も確率一で無限大に向かいます。ただし、その歩みはゆっくりです。全員の中央値は、点線の曲線を少し上回りながら上昇します。この曲線は、ゲーム回数と同額の資金を持つ胴元でのゲームの価値。回数が倍になるたびに半ドゥカート増え、65,536回で9に達します。今回の中央値は9.29で終わります。平均を押し上げるのは、まれに起こる長いゲームです。n回のうち一回でもn以上を受け取る確率は、1,024回で63.2%、65,536回でも63.2%。この確率はゼロではなく1 − 1/eに近づきます。どれほど長く続けても、一回のゲームだけで平均が1ドゥカート以上押し上げられる可能性が残るのです。倍賭け法では様子が逆になります。ほとんどの日は1単位を勝ち取って終わり、まれにすべてを失う日が平均を決めます。資金1,024の胴元を押してみましょう。胴元の資金が有限なら期待値は6ドゥカートで、全員の平均はそこに集まっていきます。一人の平均受取額の標準偏差は、厳密に計算すると0.15です。

資産Wのプレイヤーがつける値は、資金Wの胴元での価値に近い 🖖

ベルヌーイの1,000ドゥカートを押してみましょう。ダニエル・ベルヌーイの1738年の答えは、同じ額を得ても、その人にとっての効用の増加は、すでに持っている資産に反比例するというものでした。資産の効用を対数で表す考え方です。資産Wのプレイヤーが払ってよい参加料の上限は、参加後の資産の対数の期待値が参加前と等しくなる金額xです。資産が1,000ドゥカートなら、参加料は5.97。資金がちょうど1,000ドゥカートの胴元でのゲームの価値は5.98です。百万長者を押すと、10.94と10.95になります。1,000ドゥカートから10¹⁵まで、両者の差は0.03を超えません。賞金gがWに比べて小さいうちは、ln(1 + g/W)はg/Wに近く、賞金はほぼ額面どおりに評価されます。gがWを超えると対数の増え方は緩やかになり、長いゲームの寄与はごく小さくなります。プレイヤー自身の資産が、実質的な上限を決めるわけです。1,000未満では差が開きます。資産10のプレイヤーの参加料は2.88ですが、資金10の胴元での価値は2.63です。ベルヌーイ自身は、無料で参加できる場合の価値を、資産10の人には約3ドゥカート、資産100の人には約4、資産1,000の人には6と見積もりました。何も持たない人には、ちょうど2です。

全プロセスの詳細解説

クラメールのもう一つの答え：上限を設けず、平方根で測る 4 ステップ
クラメールは同じ1728年の手紙で、もう一つの考え方も試しました。賞金に上限は設けず、お金の効用を平方根で測るのです。金額を百万ドゥカート単位で表せば、40を得たときの満足度は10を得たときの倍になります。この考え方では、ゲームの価値は何ドゥカートでしょうか。まずクラメールの胴元を押して、最初の答えの値を確かめましょう。

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1. 最初の答えは、上限を設けたゲームです。画面から読み取ると、
  
  $V (2^{24}) = 1 + \frac{24}{2} = 13$
2. 各賞金の効用を平方根で表します。第k項は2^−k√(2^k−1)。公比1/√2の等比級数なので、上限がなくても収束します。
  
  $k \geq 1 \sum 2^{- k} 2^{k - 1} = \frac{1}{2} j \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{2 - 2} = 1.7071$
3. この満足度の期待値を平方根として持つ金額が、ゲームの確実性等価額です。
  
  $(\frac{1}{2 - 2})^{2} = \frac{1}{6 - 4 2} = 2.914$
4. 比較のため、何も持たない人が無料で参加するときの価値を、ベルヌーイの対数効用で求めると、
  
  $k \geq 1 \prod (2^{k - 1})^{2^{- k}} = 2^{\sum_{k} (k - 1) 2^{- k}} = 2^{1} = 2$
解答

胴元の支払いに上限がなくても、2.91ドゥカート、すなわち1/(6 − 4√2)です。クラメールはこの額を「3にも満たない、実にわずかな額だが、それでも世間一般の評価には13より近いと思う」と述べました。平方根で効用を測ると、長いゲームの寄与は等比数列のように小さくなります。上限を設ける方法では強制的に抑えていた寄与が、効用の測り方によって抑えられるのです。ベルヌーイの対数効用では、何も持たない人にとっての価値は2になります。

$\frac{1}{6 - 4 2} = 2.91 < 3 < 13$

学習の道すじ

公平なゲームが招く破産

参考文献 (2)

Daniel Bernoulli's paper of 1738, in Louise Sommer's translation: the game in the page's form (one ducat on the first toss, doubling), Nicolaus Bernoulli's remark that a reasonable man would sell his chance for twenty ducats, the logarithmic valuation with the man worth 10, 100 and 1,000 ducats (about 3, 4 and 6) and nothing (two ducats precisely), the equation for the purchase price, and Gabriel Cramer's letter of 1728 with the cap at 2²⁴ ducats (13) and the square root (less than 3), which the first insight and the worked problem use: D. Bernoulli, Exposition of a new theory on the measurement of risk, translated by L. Sommer. Econometrica 22(1), 23–36 (1954). Originally Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175–192 (1738). doi:10.2307/1909829
The history in one place: Nicolaus Bernoulli's letter to Montmort of 9 September 1713 (a die, not a coin, and a progression 1, 2, 4, 8, 16), Cramer's simpler coin version and his bounded valuation in 1728, Daniel Bernoulli's logarithm in 1738, and the objection that no bank has an indefinitely large reserve: M. Peterson, The St. Petersburg Paradox. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2023 edition), E. N. Zalta and U. Nodelman (eds.). First published 30 July 2019; substantive revision 1 August 2023.

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