収束半径

a を中心とする 1/(1 + x²) のテイラー級数は、a から距離 R の範囲内でしか収束しません。次数、点 x₀、中心を動かしながら、実数グラフと複素数平面を見比べてみましょう。平面上の円盤が、曲線をどこまで信用できるかを決めているのです。

計算例 — 収束半径

収束半径 R	1.000000
級数の収束域	−1.000000 < x < 1.000000
x₀ の位置（半径の何倍か）	1.1000
x₀ における 80 次多項式	1,121.975
x₀ における関数の値	0.4524887
多項式の誤差	1,121.522
誤差の最大見積もり	1,515.693
次数 80 までの部分和の平均	1.774285

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レッスン

理論 — 収束半径

べき級数 Σ c_n(x − a)ⁿ の 収束半径 とは、|x − a| < R で級数が収束し、|x − a| > R で発散するような数値 R のことです。1/(1 + x²) の場合、R は中心 a から、複素数平面上で関数が破綻する最も近い点（i または −i）までの距離となるため、R = √(1 + a²) となります。

各記号の意味

R: a を中心とする収束半径、|a − i| = √(1 + a²)
q: (a − x)/(a − i)。この大きさ |x − a|/R は、x が中心から半径何個分の位置にあるかを示します

公式の導き方

係数はどこから来るのか。 1/(1 + z²) を (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)] に分解してみます。それぞれの項は a を中心とする等比級数になります。1/(z − i) = 1/((a − i) + (z − a)) = Σ (−1)ⁿ(z − a)ⁿ/(a − i)ⁿ⁺¹ であり、これは |z − a| < |a − i| のときにのみ収束します。もう一つの項も a + i を使った同じ形であり、距離も等しいため、どちらも R = √(1 + a²) のところで収束が止まります。
なぜ誤差は q の累乗になるのか。 等比級数を N + 1 項で打ち切ると、全体の q^N+1 倍が剰余として残ります。したがって、f(x) − T_N(x) は正確に Im[q^N+1/(x − i)] となります。この大きさは最大でも |q|^N+1/√(1 + x²) です。つまり、|q| < 1 であれば等比数列のように減衰し、|q| > 1 では逆に増大し、|q| = 1 の上では減衰も増大もしないことになります。

実数軸上には何の問題もないのに、級数は 1 で途絶える 🖖

1のわずかに外側 を押してみてください。1/(1 + x²) はこれ以上ないほどおとなしい関数です。常に正で、1 を超えることはなく、すべての実数において何階でも微分できます。それなのに 0 を中心とした次数 80 の多項式は、x = 1.1 で 1,121.975 という値を出してしまいます。本当の曲線上の値は 0.4524887 なのに、です。しかも項を足せば足すほど状況は悪化し、次数が二つ増えるごとに誤差は 1.21 倍に膨らんでいきます。今度は 1のわずかに内側 を押してみましょう。0.9 は反対側へ同じだけ離れた位置ですが、同じ次数での誤差は 9.777×10⁻⁵ にすぎません。この違いを x = 1 という実数上の点だけで説明することは不可能です。曲線は何の歪みもなく、½ の高さを滑らかに通り抜けているからです。その答えは下のパネルにあります。x を複素数 z に置き換えてみてください。z² = −1 となる点、つまり中心からちょうど 1 だけ離れた i と −i において、1/(1 + z²) の値は無限大に発散しているのがわかるでしょう。

どこを中心としても、半径は i までの距離になる 🖖

下のパネルで、実数軸に沿って中心 a をドラッグしてみてください。円盤は常にその縁が i と −i を通るように拡大縮小を繰り返します。R = √(1 + a²) であり、上の実数グラフに描かれた影の帯は、この円盤が実数軸上に落とした影なのです。1を中心とする を押してみましょう。R = 1.414214 となるため、級数は −0.414214 から 2.414214 の範囲で収束します。そして 0 を中心としたときには 9.671×10²³ になってしまった x = 2 においても、次数 80 での誤差はわずか 2.728×10⁻¹³ に収まっています。この区間の両端は、実数軸上では何の変哲もない場所です。それらはただ、二つの極を通り 1 を中心として描いた円が、たまたま実数軸と交わった点にすぎません。

円周上では、級数は落ち着くことも暴走することもない 🖖

境界線上 を押してみてください。x = 1 において、0 を中心とする級数は 1 − 1 + 1 − 1 + … というグランディ級数になります。各次数での部分和は 1, 1, 0, 0, 1, 1, … と続き、一定の値に落ち着くことも無限に大きくなることもありません。そこでの関数の値は ½ です。結果の最後の行では部分和の平均をとっていますが、次数 80 におけるその平均値 0.5061728 は、まさしくこの ½ へと近づいていきます。

全プロセスの詳細解説

x = 1 で級数は破綻します。では、その積分はどうでしょうか？ 4 ステップ
次数 80 の多項式を 0 から 1 まで項別に積分し、1/(1 + x²) の下にある実際の面積と比べてみましょう。 x = 1 において、級数自体は決して一つの値に落ち着きません。しかし、面積はどうなるでしょうか。

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1. 実際の面積はアークタンジェントになります：
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4} = 0.7853982$
2. 項別に見ていくと、それぞれの x^2k は 1/(2k + 1) になります：
  
  $\int_{0}^{1} T_{80} d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2} + x^{4} - \dots + x^{80}) d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{81} = 0.7914948$
3. この差は誤差の積分となります。これは等比級数から厳密に求めることができ、また区間 [0, 1] において 1/(1 + x²) は ½ と 1 の間に収まります：
  
  $\int_{0}^{1} (T_{80} - f) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{82}}{1 + x ^{2}} d x \in (\frac{1}{166}, \frac{1}{83}) = (0.0060241, 0.0120482); 0.0060967$
4. 次数が上がるにつれてその上限は 0 に近づくため、奇数の逆数からなる交項級数は収束し、その値は π/4 になります：
  
  $0 < \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 k + 2}}{1 + x ^{2}} d x < \frac{1}{2 k + 3} \to 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$
解答

級数が収束しなかった場所でも、面積は収束します。π/4 = 0.7853982 に対して積分の値は 0.7914948 となり、次数がさらに二つ増えるたびにこの差は縮まっていきます。ただし収束は遅く、n 項までの誤差はほぼ 1/(4n) となるため、誤差を百万分の一にするにはおよそ 250,000 項が必要になります。また、1 + ⅓ + ⅕ + … は発散するため、これは条件付きでしか収束しません。これこそまさに、リーマンが「順番を並べ替えればどんな値にでも収束させられる」と示した種類の級数です。リーマンは同じ 1854 年の論文のなかで、変数のべき乗による級数は、変数のある単一の値を除いて絶対収束すると述べています。x = 1 は、そのような値の一つなのです。

$0.7914948 - 0.7853982 = 0.0060967 \approx \frac{1}{4 \times 41}; 1 0^{- 6} needs \approx 250, 000 terms$

学習の道すじ

無限級数と収束

参考文献 (2)

The theorem the page draws, that a function holomorphic on a region can be expanded about any point into a power series whose radius is at least the distance to the region's boundary, and this page's own example, 1/(z² + 1) about 0, radius 1 because of the singularities at ±i: M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton and L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis, edition 1.6 (2025), open textbook, Corollary 8.1.10 and Example 8.1.11.
Riemann's remark, in the essay where he gave the rearrangement theorem, that series in rising powers of a variable belong to the class that converges absolutely, single values of the variable excepted: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.

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