複素数電卓

複素数の演算を行い、その結果をアルガン図上で確認しよう。

計算例 — 複素数電卓

z2	1+2i
結果	4+4i

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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共役をかけるのは、虚部をわざと捨てるためである 🖖

conjugate のプリセットは 3 + 2i に 3 − 2i をかけ、答えは 13 になります。虚部はまったく残りません。特別な組だからではありません。(a + bi)(a − bi) はいつでも a² + b² に潰れます。交差項が +abi と −abi だからです。そして 13 はちょうど 3² + 2²、つまり |z|²、この道具が平面に描く原点からの距離の二乗です。複素数の除算はまるごとこの仕組みです。分母と分子にその共役をかければ、分母は実数になります。

一つの点、二つの住所 🖖

複素数とは、平面上のただの一点です。直交形式 a + bi はそれを座標で表し（右へいくつ、上へいくつ）、極形式 r∠θ は原点からの距離と方向で表します。同じ点に二つのラベルがあるだけで、極形式の表示を切り替えれば両方を同時に見られます。目安として、足し算には直交形式、掛け算やべき乗には極形式が便利です。

実数の答えのために生まれた虚数 🖖

複素数は x² + 1 = 0 を解くために生まれたのではありません——誰もそれを気に病んではいませんでした。虚数を数学者に押しつけたのは三次方程式です。x³ = px + q に対するカルダノの1545年の公式は、三つの解がすべて普通の実数であっても、負の数の平方根を経由することがあります。1572年、ボンベリはこの「あり得ない」量が打ち消し合い、正しい実数の答えを与えることを示しました。虚数は実数へ至る回り道だったのです。

iを掛けることは四分の一回転 🖖

複素数の掛け算では偏角が足され、絶対値が掛けられます。i は |z| = 1、arg = 90° にあるので、i を掛けることは四分の一回転そのものです。z₁ に 3 + 2i、z₂ に i を入れると答えは −2 + 3i。その −2 と 3 を z₁ に入れ直すと、表示は先ほどの 33.7° に対して arg(z₁) = 123.7° となり、|z₁| = 3.606 はどちらでも変わりません。伸びたのではなく、回っただけです。De Moivre n=4 のプリセットは同じ規則を4回重ねたもので、45° の4乗は −1 + 0i、つまり 180° に着きます。パネルが |z₁| と arg(z₁) を示すのは z₁ だけなので、偏角が足される様子を見るには答えを最初の欄に戻す必要があります。

全プロセスの詳細解説

3 + 2i とその共役複素数の乗算による積の証明 5 ステップ
3 + 2i にその共役複素数を掛け、その結果を「2つの平方数の和の積は再び2つの平方数の和となる」ことの証明へと展開せよ。 これは z₁ = 3 + 2i かつ z₂ = 3 − 2i での乗算の設定である。
1. 2つの交差項は絶対値が等しく符号が反対であるため相殺される。残るのは −b²i² であり、これは符号が反転して引き算ではなく足し算になる。したがって、共役な複素数の対の積は常に実数となり、その数は二乗の和として構成される。
  
  $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ (3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$
2. その実数にはすでに名前がある。絶対値（モジュラス）は原点からの距離であるため、ピタゴラスの定理により |z|² は a² + b² となり、パネルの 3.606 は √13 を小数第3位で四捨五入した値である。
  
  $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = 13 = 3.605551, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = 13$
3. 次に、2つの複素数の一般的な積を考えると、i² = −1 によって1つの項が実部へと移って合流する。ここではまだ絶対値は現れていない。
  
  $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
4. その積にステップ1を適用する。展開において2番目の交差項の対である −2abcd と +2abcd が相殺され、生き残った4つの項は2つの括弧の積に因数分解される。必要であればすべての文字を整数とすることができ、最終行には i を含む記述は一切残らない。
  
  $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$
5. したがって、整数の対のペアから第3の対が生み出される。3 + 2i は 13 を伴い、1 + 2i は 5 を伴う。それらの積は 65 を伴う。2番目の因数を共役にすると、それは実軸に関して反転し、同じ和を持つ別の対をもたらす。
  
  $(3 + 2 i) (1 + 2 i) = - 1 + 8 i : 1^{2} + 8^{2} = 65 = 13 \times 5; (3 + 2 i) (1 - 2 i) = 7 - 4 i : 7^{2} + 4^{2} = 65$
解答

パネルは共役積を 13、絶対値を 3.606 と表示しており、3.606² = 13.003 となるのは不一致ではなく端数処理によるものである。心に留めるべき重要な点は、複素数を消去してもこの等式がそのまま成り立つことである：(a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² は、i を一切含まない4つの整数に関する主張である。ディオファントスは3世紀にまさにこの数を記録している。65 は 13 × 5 であり各因数自体が2つの平方数の和であるため、65 は 1 + 64 としても 16 + 49 としても分割できると彼は書き残した。これはカルダノが負の数の平方根を初めて書き下ろすより約13世紀も前のことである。2つの素因数、2つの表現形式：13 単独では 9 + 4 しか存在せず、5 単独では 1 + 4 しか存在しない。複素数の乗算は第2の表現形式を生み出す機械であり、共役はその2つを切り替えるレバーである。

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

学習の道すじ

二次式を超えて

この次に多項式の除法

参考文献 (1)

Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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例題

i倍する - iを掛ける
ド・モアブル n=4 - arg(z₁) は 45°、|z₁| は 1 を示しています。したがって4乗すると −1+0i に落ち着きます。累乗は偏角に対する掛け算として働き、絶対値は1のまま保つからです。ただ、丸め誤差には気をつけてください。0.707 という値は 1/√2 を二桁の小数で代用したものにすぎません。実際の絶対値は 1 よりほんの少し小さく、表示上できれいに整えられているだけなのです。
4乗根 - 1の四つの4乗根は、1+0i、0+1i、−1+0i、0−1i と表示されます。単位円上に描かれた正方形の四隅ですね。これらを足し合わせると 0 になります。この事実は 1 より大きい任意の n における 1のn乗根でも変わりません。それらが原点を中心とする正多角形の頂点をなすためです。
共役ペア - 共役なペア