二次方程式ソルバー

解の公式は単なる代数的なトリックではなく、対称性のマッピングです。標準形において、x = -b/(2a) は放物線の中心軸である対称軸を表します。平方根の中の項 b² - 4ac は判別式 Δ です。これは放物線の頂点とx軸との距離を測定します。Δ > 0 のとき、放物線は頂点に対して対称な2つの異なる点でx軸と交わります。Δ = 0 のとき、頂点はちょうどx軸上に位置し、重解が得られます。そして Δ < 0 のとき、放物線はx軸の上または下に浮き、その根は共役複素数ペアとして複素平面上に現れます。現代数学において、このシンプルな公式は体論の基礎です。二次方程式を解くには有理数を冪根を含むように拡張する必要があり、幾何学と代数学が本質的に統一されていることを示しています。

公式が生まれる前から、数学者は係数に隠れた規則に気づいていました。どんな ax² + bx + c = 0 でも、二つの解の和は必ず -b/a、積は c/a になります。これを解と係数の関係と呼びます。たとえば x² - 5x + 6 なら、解は和が 5、積が 6 となり、2 と 3 だと分かります。代入し直さずに答えを確かめる、最も速い方法です。

コンピュータ上では、教科書の公式が裏切ることがあります。b² が 4ac よりはるかに大きいと平方根はほぼ |b| に等しくなり、-b + √Δ の計算はほぼ同じ二数の引き算となって有効数字の大半が失われます。これを桁落ちと呼びます。数値計算ライブラリは、まず一方の解を求め、もう一方を c/(a·x₁) で計算して回避します。数百年前の代数と現代の浮動小数点演算が、静かに食い違うのです。