式の展開と因数分解

6x² + 5x − 4 を因数分解しなさい。また、因数分解可能であるかどうかを事前に判定しなさい。

1. まず判別式を計算します。ほんの1行の計算で、因数を探す意味があるかどうかを即座に判断できます。

   $$b^2-4ac=5^2-4(6)(-4)=25+96=121$$

2. 121 は 11² です。したがって整数の範囲で因数分解が可能だとわかります。これで心置きなく探索を始められます。

   $$121=11^2$$

3. 方程式の解もまた、この判別式の値から導かれます。判別式が平方数であるため、解は有理数になります。

   $$x=\frac{-5\pm 11}{12}=\frac{1}{2},-\frac{4}{3}$$

4. 解が 1/2 であれば因数 (2x − 1) を持ち、解が −4/3 であれば因数 (3x + 4) を持つことになります。分母を払う操作によって、解がそのまま括弧の式へと変換されます。

   $$(2x-1)(3x+4)$$

5. 常に展開して確認する習慣をつけてください。中央の2つの領域は 8x と −3x であり、これらを足し合わせると元の式の 5x に一致します。

   $$6x^2+8x-3x-4=6x^2+5x-4✓$$

6. 今度は定数項を−5に変え、最初の手順を繰り返す。判別式は25 + 120 = 145となる。これは平方数ではないため、整数の辺をもつ長方形は存在せず、探す必要もない。

   $$5^2-4(6)(-5)=25+120=145\ne k^2$$

7. ここでこのツールの役割は終わり、数学的な概念の区別が重要になってきます。6x² + 5x − 5 は実数の範囲であれば完全に因数分解でき、√145 を含む括弧の式として表せます。「因数分解できない」という言葉は、常に「私たちが合意した数の範囲では不可能である」という意味を含んでおり、その合意は通常は語られません。

   $$6x^2+5x-5=6\left(x-\frac{-5+\sqrt{145}}{12}\right)\left(x-\frac{-5-\sqrt{145}}{12}\right)$$

(x − 5)(x + 5) を展開し、なぜ中央の項が消えるのかを述べてください。次に 95 × 105 を暗算で求め、同じ図が数そのものを分解できるかどうかを判断しましょう。

1. 長方形の四つの部分を、読む順に並べます。x² を担う角、二本の帯、そして定数の角です。

   $$x\cdot x+x\cdot 5+(-5)\cdot x+(-5)\cdot 5$$

2. 二本の帯は 5x と −5x です。これらは打ち消し合い、パネルが表示する三項式には中央の項がまったくありません。

   $$=x^2+5x-5x-25=x^2+0x-25$$

3. 判別式のカードは 100、すなわち平方数を示しているので、整数を含む括弧が存在します。もっともここでは、自分で組み立てたのですから、存在することは初めから分かっています。

   $$b^2-4ac=0^2-4(1)(-25)=100=10^2$$

4. この打ち消しは偶然ではありません。二つの定数に反対の符号を与えれば、二本の帯は同じ長方形を二度、一度は足し、一度は引いて数えたものになります。どんな数を選んでも同じです。

   $$(x+q)(x-q)=x^2+qx-qx-q^2=x^2-q^2$$

5. この議論のどこにも、x が文字であることは要求されていません。そこに 100 を入れれば、掛け算が引き算に変わります。

   $$95\times 105=(100-5)(100+5)=100^2-5^2=10,000-25=9,975$$

6. どんな二つの数も、中点とその両側の差として書けます。ですからこれは、平均が扱いやすいどんな組にも使えます。

   $$47\times 53=(50-3)(50+3)=2,500-9=2,491$$

7. 逆向きに読むと、こちらのほうが難しい仕事をこなします。8,051 を因数分解するには、それを別の平方数の分だけ上回る平方数を探します。最初に見つかるのが 90² で、二つの括弧がそのまま因数です。これがフェルマーの因数分解法であり、83 と 97 のように二つの因数が近い位置にあるときにこそ速く働きます。

   $$90^2-8,051=8,100-8,051=49=7^2⟹8,051=83\times 97$$