01
Δ > 0 — 異なる2つの実数解
与えられるもの: 判別式 b² − 4ac が正になります。放物線は x 軸を2つの離れた点で横切ります。
解: Δ = b2 − 4ac > 0
計算例: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 と x = 3
この場合を開く: 2つの実数解
二次方程式の理論 — 解く前に ax² + bx + c を読む
判別式：実数解はいくつか、そしてどちら向きに開くか
解の公式に手をつける前に、2つの数が答えの形を決めています。判別式 Δ = b² − 4ac は実数解の個数を示し、a の符号は放物線がどちらに開くか、頂点が最小点か最大点かを示します。
Δ > 0 — 異なる2つの実数解
Δ = b2 − 4ac > 0
Δ = 0 — 重解（実数解が1つ）
Δ = 0
Δ < 0 — 共役な複素数解が2つ
Δ < 0
a < 0 — 放物線は下に開く
a < 0
02
Δ = 0 — 重解（実数解が1つ）
与えられるもの: 判別式がちょうど0です。放物線は x 軸を横切らず、1点で接します。
解: Δ = 0
計算例: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2（重解）
この場合を開く: 重解
03
Δ < 0 — 共役な複素数解が2つ
与えられるもの: 判別式が負です。放物線は x 軸に届かないので、実数解はありません。
解: Δ < 0
計算例: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i
この場合を開く: 複素数解
04
a < 0 — 放物線は下に開く
与えられるもの: 最高次の係数 a が負です。判別式とは無関係に、曲線が反転して頂点が最大点になります。
解: a < 0
計算例: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2、頂点 (0, 4) が最大
この場合を開く: 下に開く
参考文献 (1)
- Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.
全プロセスの詳細解説
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平方完成による x² − 5x + 6 = 0 の解法 5 ステップ
平方完成を用いて x² − 5x + 6 = 0 を解きなさい。その上で、解の公式からは見えてこない問いに答えなさい。判別式は解の個数を表しますが、その大きさは何を意味しているのでしょうか？
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平方完成は二次方程式を解くための単なるテクニックではありません。特定の式に対して解の公式の正しさを証明するプロセスそのものです。x の係数を半分にし、それを2乗して足し引きします。現れる 6.25 は最初の2項を完全平方にするための代償であり、同じ式の中で引き戻して補わなければなりません。
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頂点形に変形すると変数が1箇所だけになるため、逆算を直接行うことができます。平方の項を孤立させ、平方根をとり、2.5 を足し戻します。公式を使う必要も、暗記する必要もありませんでした。
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次に判別式について考えます。ここでは Δ = 1 であり正の値をとるため、2つの実数解が存在します。これはどの教科書にも書かれている内容です。
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判別式はさらに2つの場面に現れますが、どちらも明言されることはめったにありません。解同士の間隔は √Δ/|a| となります。なぜなら公式の ± がそれぞれの解に ±√Δ/2a の幅を与えるからです。そして頂点は軸より Δ/4a だけ下に位置します。上のパネルに表示された −0.25 は独立した結果ではなく、判別式を4で割った値そのものなのです。
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解と係数の関係がこの一連の流れを締めくくります。a(x − x₁)(x − x₂) を展開し、ax² + bx + c と各項を比較すれば、方程式を解くことなく解の和と積が自然に導かれます。
解答
解は x = 2 および x = 3 であり、ツールは同じ平方完成から頂点を (2.5, −0.25) と表示します。ここでの最大の収穫は、1つの数値が3つの独立した事実を支配しているという点です。Δ = 1 は解を実数にし、解同士をちょうど 1 だけ離し、頂点を軸からちょうど 0.25 だけ下に落とします。c を 6.25 に向かって大きくしていくと、これら3つが連動して変化するのが分かります。解は内側にスライドし、間隔は √Δ に従って縮まり、放物線は Δ = 0 で軸に接するまで上昇します。これらは3つの偶然などではなく、1つの量を3つの視点から捉えたものなのです。
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学習の道すじ
