テイラー級数エクスプローラー

テイラー多項式は1点における導関数から作られるため、その点における関数の局所的な形状をとらえます。そこから離れると、同じ係数では関数をうまく表せなくなることがあります。誤差は関数の滑らかさ、次数、収束半径に依存します。

このツールは、曲がった関数を足し算・掛け算・べき乗だけで組み立て直します。プロセッサが実際に実行できる演算だけです。0次の項は中心での関数の高さに一致し、1次はその傾き、2次はその曲がり具合に一致し、次数を上げるごとに導関数を1つずつ合わせていきます。次数 n を上げて、破線の多項式が中心 a の近くで実線の曲線にどんどん寄り添う様子を見てみましょう。

無限回微分可能な関数なら、十分に高い次数のテイラー多項式で必ず捉えられそうに思えますが、それは保証されません。古典的な反例が f(x)=e−1/x²(ただし f(0)=0)です。0でのすべての導関数が0になるため、0のまわりのテイラー多項式はどの次数でも 0 のままなのに、関数は他のどこでも正の値をとります。項を増やしても決して近づきません。「滑らか」(すべての導関数が存在)であることは、「解析的」(自分自身の級数に一致)であることより弱い条件なのです。